T3: Programación lineal · Optimización lineal — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Optimización lineal

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 1

La Agencia Espacial Europea contará con un presupuesto de 2.4 millones de euros para financiar misiones sobre Observación de la Tierra y para financiar programas de Transporte Espacial. Cada misión supone una inversión de 200 000 euros y cada programa, 100 000 euros. Teniendo en cuenta que en la decisión final deben superarse los 2 millones de euros de inversión y el número de misiones debe ser al menos 4, pero no más de la mitad del número de programas, ¿cuántas misiones y cuántos programas se deben llevar a cabo para obtener el máximo de la función $F(x,y) = 0.6x + 0.4y$ , con $x$ misiones e $y$ programas?

OptimizaciónRestricciones linealesFunción objetivo

1. Definición de variables y función objetivo

Sean las variables que representan la cantidad de cada actividad: $x$ : número de misiones sobre Observación de la Tierra. $y$ : número de programas de Transporte Espacial.La función que se desea maximizar es la rentabilidad o beneficio dado por:

F(x,y) = 0.6x + 0.4y

2. Restricciones del problema

A partir de los datos del enunciado, establecemos el siguiente sistema de inecuaciones:

Presupuesto máximo:

200000x + 100000y \le 2400000 \implies 2x + y \le 24

Inversión mínima:

200000x + 100000y \ge 2000000 \implies 2x + y \ge 20

Misiones mínimas:

x \ge 4

Relación misiones-programas:

x \le \frac{y}{2} \implies y \ge 2x \implies -2x + y \ge 0

No negatividad (implícitas en las anteriores):

x \ge 0, y \ge 0

3. Cálculo de los vértices de la región factible

Determinamos los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región:Vértice $A$ (Intersección de $x = 4$ y $2x + y = 20$ ):

2(4) + y = 20 \implies y = 12 \implies A(4, 12)

Vértice $B$ (Intersección de $x = 4$ y $2x + y = 24$ ):

2(4) + y = 24 \implies y = 16 \implies B(4, 16)

Vértice $C$ (Intersección de $y = 2x$ y $2x + y = 24$ ):

2x + 2x = 24 \implies 4x = 24 \implies x = 6, y = 12 \implies C(6, 12)

Vértice $D$ (Intersección de $y = 2x$ y $2x + y = 20$ ):

2x + 2x = 20 \implies 4x = 20 \implies x = 5, y = 10 \implies D(5, 10)

4. Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $F(x,y) = 0.6x + 0.4y$ en cada uno de los vértices hallados:

F(4, 12) = 0.6(4) + 0.4(12) = 2.4 + 4.8 = 7.2

F(4, 16) = 0.6(4) + 0.4(16) = 2.4 + 6.4 = 8.8

F(6, 12) = 0.6(6) + 0.4(12) = 3.6 + 4.8 = 8.4

F(5, 10) = 0.6(5) + 0.4(10) = 3.0 + 4.0 = 7.0

5. Conclusión

Para obtener el máximo valor de la función, se deben llevar a cabo 4 misiones de Observación de la Tierra y 16 programas de Transporte Espacial, obteniendo un valor máximo de 8.8.