T5: Probabilidad · Probabilidad compuesta y condicionada — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Probabilidad compuesta y condicionada

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

Una urna $A$ contiene $4$ bolas rojas y $5$ verdes y otra urna $B$ contiene $6$ bolas rojas y $3$ verdes. Lanzamos dos dados y si la suma es mayor o igual a $9$ , extraemos una bola de la urna $A$ y en caso contrario, la extraemos de la urna $B$ .

a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea verde y de la urna

B

.b) Halle la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

UrnasDadosProbabilidad total

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : "La bola se extrae de la urna $A$ ". $B$ : "La bola se extrae de la urna $B$ ". $R$ : "La bola extraída es roja". $V$ : "La bola extraída es verde".Primero, calculamos las probabilidades de elegir cada urna. Lanzamos dos dados. El número total de resultados posibles es $6 \times 6 = 36$ . La suma es mayor o igual a $9$ para los siguientes pares: $(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)$ .Hay $10$ resultados favorables para que la suma sea mayor o igual a $9$ .

P(A) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}

La probabilidad de que la suma sea menor que $9$ (es decir, elegir la urna $B$ ) es:

P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}

Ahora, definimos las probabilidades de extraer bolas rojas o verdes de cada urna:Urna $A$ (4 rojas, 5 verdes, total 9):

P(R|A) = \frac{4}{9}

P(V|A) = \frac{5}{9}

Urna $B$ (6 rojas, 3 verdes, total 9):

P(R|B) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

P(V|B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea verde y de la urna

B

Se pide calcular $P(V \cap B)$ . Usamos la fórmula de probabilidad condicionada:

P(V \cap B) = P(V|B) \cdot P(B)

P(V \cap B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{13}{18} = \frac{13}{54}

b) Halle la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

Se pide calcular $P(R)$ . Utilizamos el teorema de la probabilidad total:

P(R) = P(R|A)P(A) + P(R|B)P(B)

P(R) = \left(\frac{4}{9}\right) \cdot \left(\frac{5}{18}\right) + \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{13}{18}\right)

P(R) = \frac{20}{162} + \frac{26}{54}

Para sumar las fracciones, buscamos un denominador común. Dado que $162 = 3 \times 54$ , podemos expresar la segunda fracción con denominador $162$ :

P(R) = \frac{20}{162} + \frac{26 \times 3}{54 \times 3}

P(R) = \frac{20}{162} + \frac{78}{162}

P(R) = \frac{20 + 78}{162} = \frac{98}{162}

Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por $2$ :

P(R) = \frac{49}{81}