T5: Probabilidad · Probabilidad Total y Bayes — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Probabilidad Total y Bayes

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

En una determinada muestra de suelo se han aislado dos tipos de bacterias, $A$ y $B$ , de las cuales el $70 \%$ son de $A$ y el $30 \%$ son de $B$ . La probabilidad de que una bacteria de tipo $A$ reaccione a la prueba del nitrato es $0.15$ y para la bacteria $B$ es $0.8$ . De las bacterias aisladas se selecciona una al azar.

a) Calcule la probabilidad de que reaccione a la prueba del nitrato.b) Si la bacteria ha reaccionado a la prueba del nitrato, calcule la probabilidad de que sea del tipo

B

.c) Calcule la probabilidad de que la bacteria sea del tipo

A

y no reaccione a la prueba del nitrato.

Teorema de BayesProbabilidad totalControl de calidad

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : La bacteria es de tipo A. $B$ : La bacteria es de tipo B. $R$ : La bacteria reacciona a la prueba del nitrato.Las probabilidades dadas son:

P(A) = 0.70

P(B) = 0.30

P(R|A) = 0.15

P(R|B) = 0.80

a) Calcule la probabilidad de que reaccione a la prueba del nitrato.

Para calcular $P(R)$ , utilizamos el teorema de la probabilidad total:

P(R) = P(R|A)P(A) + P(R|B)P(B)

P(R) = (0.15)(0.70) + (0.80)(0.30)

P(R) = 0.105 + 0.24

P(R) = 0.345

b) Si la bacteria ha reaccionado a la prueba del nitrato, calcule la probabilidad de que sea del tipo

B

Se pide $P(B|R)$ . Aplicamos el teorema de Bayes:

P(B|R) = \frac{P(R|B)P(B)}{P(R)}

P(B|R) = \frac{(0.80)(0.30)}{0.345}

P(B|R) = \frac{0.24}{0.345}

P(B|R) \approx 0.6957

c) Calcule la probabilidad de que la bacteria sea del tipo

A

y no reaccione a la prueba del nitrato.

Se pide $P(A \cap \bar{R})$ . Primero, calculamos la probabilidad de que una bacteria de tipo A no reaccione a la prueba del nitrato:

P(\bar{R}|A) = 1 - P(R|A) = 1 - 0.15 = 0.85

Ahora, calculamos $P(A \cap \bar{R})$ :

P(A \cap \bar{R}) = P(\bar{R}|A)P(A)

P(A \cap \bar{R}) = (0.85)(0.70)

P(A \cap \bar{R}) = 0.595