T4: Funciones · Cálculo de derivadas e integrales — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Cálculo de derivadas e integrales

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

Determina la función $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$ , sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto $(0, 1)$ , $f'(0) = 0$ y:

f''(x) = \frac{1}{x + 1}

DerivadasIntegralesPrimitiva

Dada la segunda derivada de la función $f(x)$ :

f''(x) = \frac{1}{x + 1}

Para determinar la primera derivada $f'(x)$ , integramos $f''(x)$ :

f'(x) = \int \frac{1}{x + 1} dx = \ln|x + 1| + C_1

Dado que el dominio de la función es $(-1, +\infty)$ , tenemos que $x+1 > 0$ , por lo que podemos eliminar el valor absoluto:

f'(x) = \ln(x + 1) + C_1

Ahora usamos la condición $f'(0) = 0$ para encontrar el valor de $C_1$ :

f'(0) = \ln(0 + 1) + C_1 = 0 \implies \ln(1) + C_1 = 0 \implies 0 + C_1 = 0 \implies C_1 = 0

Por lo tanto, la primera derivada es:

f'(x) = \ln(x + 1)

Para encontrar la función $f(x)$ , integramos $f'(x)$ :

f(x) = \int \ln(x + 1) dx

Utilizamos el método de integración por partes, con $u = \ln(x + 1)$ y $dv = dx$ . Entonces, $du = \frac{1}{x + 1} dx$ y $v = x$ . Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ :

\int \ln(x + 1) dx = x \ln(x + 1) - \int x \frac{1}{x + 1} dx

Para resolver la integral restante, manipulamos el numerador:

\int \frac{x}{x + 1} dx = \int \frac{x + 1 - 1}{x + 1} dx = \int \left(1 - \frac{1}{x + 1}\right) dx = x - \ln(x + 1)

Sustituyendo esto de nuevo en la expresión para $f(x)$ :

f(x) = x \ln(x + 1) - (x - \ln(x + 1)) + C_2 \\ f(x) = x \ln(x + 1) - x + \ln(x + 1) + C_2 \\ f(x) = (x + 1) \ln(x + 1) - x + C_2

Ahora usamos la condición de que la gráfica pasa por el punto $(0, 1)$ , es decir, $f(0) = 1$ , para encontrar el valor de $C_2$ :

f(0) = (0 + 1) \ln(0 + 1) - 0 + C_2 = 1 \\ 1 \cdot \ln(1) - 0 + C_2 = 1 \\ 1 \cdot 0 - 0 + C_2 = 1 \\ C_2 = 1

Finalmente, la función $f(x)$ es:

f(x) = (x + 1) \ln(x + 1) - x + 1