T5: Probabilidad · Probabilidad condicionada — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Probabilidad condicionada

Problema

2020 · Ordinaria · Suplente

Se han mezclado 90 llaves electrónicas de apertura de un determinado garaje, con apariencia idéntica, de las cuales 60 funcionan correctamente y 30 no funcionan. Se eligen al azar 2 de las 90 llaves.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos llaves elegidas abran la puerta del garaje?b) ¿Cuál es la probabilidad de poder abrir el garaje con alguna de ellas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que una de las llaves elegidas funcione correctamente y la otra no?

ProbabilidadExtracción sin reemplazoSucesos independientes

Tenemos un total de 90 llaves, de las cuales 60 funcionan correctamente (F) y 30 no funcionan (NF). Se eligen 2 llaves al azar sin reemplazamiento.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos llaves elegidas abran la puerta del garaje?

Sea $F_1$ el suceso de que la primera llave elegida funcione, y $F_2$ el suceso de que la segunda llave elegida funcione. La probabilidad de que ambas llaves funcionen es:

P(F_1 \cap F_2) = P(F_1) \cdot P(F_2 | F_1)

La probabilidad de que la primera llave funcione es de $60/90$ . Si la primera llave funciona, quedan 59 llaves que funcionan y un total de 89 llaves. Entonces, la probabilidad de que la segunda llave funcione dado que la primera funcionó es de $59/89$ .

P(F_1 \cap F_2) = \frac{60}{90} \cdot \frac{59}{89} = \frac{2}{3} \cdot \frac{59}{89} = \frac{118}{267} \approx 0,4419

b) ¿Cuál es la probabilidad de poder abrir el garaje con alguna de ellas?

La probabilidad de poder abrir el garaje con alguna de ellas es la probabilidad de que al menos una de las llaves funcione. Esto es el complemento de la probabilidad de que ninguna de las llaves funcione.Sea $NF_1$ el suceso de que la primera llave elegida no funcione, y $NF_2$ el suceso de que la segunda llave elegida no funcione. La probabilidad de que ninguna llave funcione es:

P(NF_1 \cap NF_2) = P(NF_1) \cdot P(NF_2 | NF_1)

La probabilidad de que la primera llave no funcione es de $30/90$ . Si la primera llave no funciona, quedan 29 llaves que no funcionan y un total de 89 llaves. Entonces, la probabilidad de que la segunda llave no funcione dado que la primera no funcionó es de $29/89$ .

P(NF_1 \cap NF_2) = \frac{30}{90} \cdot \frac{29}{89} = \frac{1}{3} \cdot \frac{29}{89} = \frac{29}{267}

Ahora, calculamos la probabilidad de que al menos una funcione:

P(\text{al menos una funcione}) = 1 - P(NF_1 \cap NF_2) = 1 - \frac{29}{267} = \frac{267 - 29}{267} = \frac{238}{267} \approx 0,8914

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una de las llaves elegidas funcione correctamente y la otra no?

Este suceso puede ocurrir de dos maneras mutuamente excluyentes:1. La primera llave funciona y la segunda no funciona ( $F_1 \cap NF_2$ ). 2. La primera llave no funciona y la segunda sí funciona ( $NF_1 \cap F_2$ ). Sumaremos las probabilidades de estos dos casos.

P(F_1 \cap NF_2) = P(F_1) \cdot P(NF_2 | F_1) = \frac{60}{90} \cdot \frac{30}{89} = \frac{2}{3} \cdot \frac{30}{89} = \frac{60}{267}

P(NF_1 \cap F_2) = P(NF_1) \cdot P(F_2 | NF_1) = \frac{30}{90} \cdot \frac{60}{89} = \frac{1}{3} \cdot \frac{60}{89} = \frac{60}{267}

La probabilidad total es la suma de estas dos probabilidades:

P(\text{una funciona y la otra no}) = \frac{60}{267} + \frac{60}{267} = \frac{120}{267} = \frac{40}{89} \approx 0,4494