T1: Interacción gravitatoria

Satélites

Teoría

2020 · Extraordinaria · Titular

5-a

a) Dos satélites describen órbitas circulares alrededor de un mismo planeta de masa

M

y radio

R

. El primero orbita con radio

4R

y el segundo

9R

. i) Deduzca la expresión de la velocidad orbital. ii) Determine la relación entre las velocidades orbitales de ambos satélites.

Velocidad orbitalSatélites

a) i) Deducción de la expresión de la velocidad orbital.

Para un satélite de masa $m$ que orbita alrededor de un planeta de masa $M$ en una órbita circular de radio $r$ , la fuerza gravitatoria entre el planeta y el satélite es la fuerza centrípeta que mantiene al satélite en su órbita. Considerando que el radio $r$ es la distancia desde el centro del planeta al satélite.

La fuerza gravitatoria viene dada por la Ley de Gravitación Universal de Newton:

F_g = G \frac{M m}{r^2}

Donde $G$ es la constante de gravitación universal. La fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular es:

F_c = \frac{m v^2}{r}

Igualando ambas fuerzas:

G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

Simplificando la masa del satélite $m$ y un radio $r$ :

G \frac{M}{r} = v^2

Despejando la velocidad orbital $v$ :

v = \sqrt{\frac{G M}{r}}

a) ii) Relación entre las velocidades orbitales de ambos satélites.

Aplicamos la expresión de la velocidad orbital para cada satélite.Para el primer satélite, con radio $r_1 = 4R$ :

v_1 = \sqrt{\frac{G M}{r_1}} = \sqrt{\frac{G M}{4R}}

Para el segundo satélite, con radio $r_2 = 9R$ :

v_2 = \sqrt{\frac{G M}{r_2}} = \sqrt{\frac{G M}{9R}}

Para determinar la relación entre sus velocidades orbitales, podemos dividir $v_1$ entre $v_2$ :

\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{G M}{4R}}}{\sqrt{\frac{G M}{9R}}}

Podemos reescribir la expresión:

\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\frac{G M}{4R}}{\frac{G M}{9R}}} = \sqrt{\frac{G M}{4R} \cdot \frac{9R}{G M}}

Simplificando los términos $GM$ y $R$ :

\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{9}{4}}

Finalmente, calculando la raíz cuadrada:

\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}

La relación entre las velocidades orbitales de ambos satélites es $v_1 = \frac{3}{2} v_2$ , lo que significa que la velocidad del primer satélite es 1.5 veces la velocidad del segundo satélite.