T6: Tecnología sostenible · Máquinas térmicas — TECNOLOGIA E INGENIERIA II PEvAU Andalucía 2024

Máquinas térmicas

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

Ejercicio 4

Una máquina frigorífica que funciona según el ciclo ideal de Carnot debe mantener en el interior de una cámara una temperatura constante de $5^\circ\text{C}$ , para lo que consume $200 \cdot 10^6 \text{ J}$ en $8$ horas de funcionamiento. La temperatura media del exterior es $24^\circ\text{C}$ .

a) Determinar el calor cedido al exterior en una hora.b) Calcular la potencia que debería tener el frigorífico si tuviera una eficiencia del

75 \%

de la ideal de Carnot.c) Explicar de qué manera influyen el coeficiente adiabático y la relación de compresión en el rendimiento de un motor de ciclo Otto.

Ciclo de CarnotMáquina frigoríficaEficiencia térmica+1

a) Determinar el calor cedido al exterior en una hora.

Primero, convertimos las temperaturas a Kelvin y calculamos el coeficiente de operación ideal para el ciclo de Carnot. Luego, utilizando el trabajo consumido y la eficiencia, determinamos el calor absorbido del interior y, por conservación de la energía, el calor cedido al exterior.

Datos

T_f = 5^\circ\text{C} = 5 + 273.15 = 278.15 \text{ K}

T_c = 24^\circ\text{C} = 24 + 273.15 = 297.15 \text{ K}

W = 200 \cdot 10^6 \text{ J}$ (consumido en $8 \text{ horas}$)

t_{\text{total}} = 8 \text{ horas}

Fórmulas

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Relación entre COP, calor absorbido y trabajo: $\varepsilon = \frac{Q_f}{W}

undefined

Sustitución

Calculamos el COP ideal:

\varepsilon = \frac{278.15 \text{ K}}{297.15 \text{ K} - 278.15 \text{ K}} = \frac{278.15}{19} = 14.64

Calculamos el calor absorbido del interior ($Q_f$) durante $8 \text{ horas}$:

Q_f = \varepsilon \cdot W = 14.64 \cdot (200 \cdot 10^6 \text{ J}) = 2928 \cdot 10^6 \text{ J}

Calculamos el calor cedido al exterior ($Q_c$) durante $8 \text{ horas}$:

Q_c = Q_f + W = (2928 \cdot 10^6 \text{ J}) + (200 \cdot 10^6 \text{ J}) = 3128 \cdot 10^6 \text{ J}

Calculamos el calor cedido al exterior en una hora:

Q_{c/h} = \frac{Q_c}{t_{\text{total}}} = \frac{3128 \cdot 10^6 \text{ J}}{8 \text{ h}} = 391 \cdot 10^6 \text{ J/h}

Resultado

El calor cedido al exterior en una hora es de $391 \cdot 10^6 \text{ J}

b) Calcular la potencia que debería tener el frigorífico si tuviera una eficiencia del

75 \%

de la ideal de Carnot.

Para mantener la misma capacidad de enfriamiento (mismo $Q_f$ por hora), calculamos el nuevo coeficiente de operación real y, a partir de este, el trabajo necesario por hora, que nos dará la potencia.

Datos

\varepsilon_{\text{ideal}} = 14.64

Eficiencia real $= 75 \%$ de la ideal

Q_f = 2928 \cdot 10^6 \text{ J}

(calor absorbido en

8 \text{ horas} \quad\text{para mantener la temperatura).}

t_{\text{total}} = 8 \text{ horas} = 8 \cdot 3600 \text{ s} = 28800 \text{ s}

Fórmulas

Coeficiente de operación real: $\varepsilon_{\text{real}} = 0.75 \cdot \varepsilon_{\text{ideal}}

Trabajo real necesario: $W_{\text{real}} = \frac{Q_f}{\varepsilon_{\text{real}}}

Potencia: $P = \frac{W_{\text{real}}}{t_{\text{total}}}

Sustitución

Calculamos el coeficiente de operación real:

\varepsilon_{\text{real}} = 0.75 \cdot 14.64 = 10.98

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W_{\text{real}} = \frac{2928 \cdot 10^6 \text{ J}}{10.98} = 266.67 \cdot 10^6 \text{ J}

Calculamos la potencia:

P = \frac{W_{\text{real}}}{t_{\text{total}}} = \frac{266.67 \cdot 10^6 \text{ J}}{28800 \text{ s}} = 9259.38 \text{ W}

Resultado

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c) Explicar de qué manera influyen el coeficiente adiabático y la relación de compresión en el rendimiento de un motor de ciclo Otto.

El rendimiento térmico de un motor de ciclo Otto ideal viene dado por la expresión:

\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}

donde:

r = \frac{V_1}{V_2} \quad\text{es la relación de compresión (cociente entre el volumen máximo y el volumen mínimo del cilindro).}

\gamma = \frac{c_p}{c_v} \quad\text{es el coeficiente adiabático (cociente entre los calores específicos a presión constante y a volumen constante del gas).}

Influencia del coeficiente adiabático ( $\gamma$ ):Un aumento del coeficiente adiabático $\gamma$ (manteniendo constante la relación de compresión) conduce a un aumento de la expresión $(\gamma-1)$ , lo que a su vez reduce el término $1/r^{\gamma-1}$ . Como este término se resta de 1, un $\gamma$ mayor implica un mayor rendimiento. Materiales con mayor $\gamma$ (ej. gases monoatómicos vs diatómicos) ofrecen teóricamente mayor eficiencia en este ciclo.Influencia de la relación de compresión ( $r$ ):Un aumento de la relación de compresión $r$ (manteniendo constante el coeficiente adiabático) provoca que el denominador $r^{\gamma-1}$ sea mayor, lo que hace que la fracción $1/r^{\gamma-1}$ sea menor. Al restar una cantidad menor de 1, el rendimiento $\eta_{\text{Otto}}$ aumenta. Por lo tanto, cuanto mayor sea la relación de compresión, mayor será el rendimiento del motor. Sin embargo, en la práctica, está limitado por la detonación del combustible (autoencendido).