T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Discusión de sistemas

Problema

2020 · Extraordinaria · Suplente

Considera el sistema de ecuaciones:

\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}

a) Discútelo según los valores de

a

.b) Resuelve, si es posible, el sistema para

a = 1

a = -2

Rouché-FrobeniusDeterminantesSistemas con parámetros

a) Discusión del sistema según los valores de

a

La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema son:

A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & a & 1 & | & a \\ 1 & 1 & a & | & a^2 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ :

\det(A) = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a)

\det(A) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2

Factorizamos el polinomio $a^3 - 3a + 2$ . Sabemos que $a=1$ es una raíz, ya que $1^3 - 3(1) + 2 = 0$ . Dividiendo por $(a-1)$ (por Ruffini o división polinómica), obtenemos $(a-1)(a^2 + a - 2)$ . Las raíces de $a^2 + a - 2 = 0$ son $a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$ , lo que nos da $a=1$ y $a=-2$ . Por lo tanto:

\det(A) = (a-1)^2(a+2)

Analizamos los casos:

Caso 1: $\det(A) \neq 0$

Esto ocurre cuando $a \neq 1$ y $a \neq -2$ . En este caso, el rango de la matriz de coeficientes es $\text{rank}(A) = 3$ , y el rango de la matriz ampliada es $\text{rank}(A^*) = 3$ . Como el rango es igual al número de incógnitas, el sistema es un Sistema Compatible Determinado (S.C.D.), con solución única.

Caso 2: $a = 1$

Si $a = 1$ , el determinante de $A$ es cero. El sistema se convierte en:

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}

La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son:

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}

En este caso, todas las filas son idénticas, por lo tanto, $\text{rank}(A) = 1$ y $\text{rank}(A^*) = 1$ . Como $\text{rank}(A) = \text{rank}(A^*) = 1 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es un Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.), con infinitas soluciones.

Caso 3: $a = -2$

Si $a = -2$ , el determinante de $A$ es cero. El sistema se convierte en:

\begin{cases} -2x + y + z = 1 \\ x - 2y + z = -2 \\ x + y - 2z = 4 \end{cases}

La matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ son:

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & -2 & 1 & | & -2 \\ 1 & 1 & -2 & | & 4 \end{pmatrix}

Calculamos el rango de $A$ . Como $\det(A)=0$ , el $\text{rank}(A)$ es menor que 3. Consideramos el menor de orden 2:

\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3 \neq 0

Por lo tanto, $\text{rank}(A) = 2$ . Ahora calculamos el rango de $A^*$ . Tomamos el menor de orden 3 formado por las dos primeras columnas de $A$ y la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = -2((-2)(4) - (-2)(1)) - 1((1)(4) - (-2)(1)) + 1((1)(1) - (-2)(-2))

= -2(-8 + 2) - 1(4 + 2) + 1(1 - (-4))

= -2(-6) - 1(6) + 1(5) = 12 - 6 + 5 = 11 \neq 0

Dado que este menor de orden 3 es distinto de cero, $\text{rank}(A^*) = 3$ . Como $\text{rank}(A) = 2 \neq \text{rank}(A^*) = 3$ , el sistema es un Sistema Incompatible (S.I.), sin solución.

b) Resolución del sistema para

a = 1

a = -2

Para $a = 1$

Según la discusión del apartado a), para $a=1$ el sistema es un Sistema Compatible Indeterminado. El sistema es:

x + y + z = 1

Podemos expresar dos incógnitas en función de la tercera, o dos en función de parámetros. Hacemos $y = \lambda$ y $z = \mu$ , donde $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ .Entonces, $x = 1 - y - z = 1 - \lambda - \mu$ .La solución del sistema para $a=1$ es $(x, y, z) = (1 - \lambda - \mu, \lambda, \mu)$ .

Para $a = -2$

Según la discusión del apartado a), para $a=-2$ el sistema es un Sistema Incompatible.Por lo tanto, el sistema para $a=-2$ no tiene solución.