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T1: Interacción gravitatoria
Energía y trabajo en campos gravitatorios
Problema
2018 · Ordinaria · Suplente
1A-b
Examen

Dos masas puntuales m1=2 kgm_1 = 2 \text{ kg} y m2=3 kgm_2 = 3 \text{ kg} se encuentran situadas respectivamente en los puntos (0,2) m(0,2) \text{ m} y (0,−3) m(0,-3) \text{ m}.

b) Calcule el trabajo necesario para trasladar una masa m3=1 kgm_3 = 1 \text{ kg} desde el punto (0,0) m(0,0) \text{ m} al punto (1,0) m(1,0) \text{ m}.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Potencial gravitatorioTrabajo
b) Trabajo necesario para trasladar m3=1 kgm_3 = 1 \text{ kg} desde (0,0)(0,0) hasta (1,0)(1,0) m.

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al trasladar m3m_3 entre dos puntos es igual a la diferencia de energía potencial gravitatoria (con signo cambiado):

W=−ΔEp=−(Ep,f−Ep,i)=Ep,i−Ep,fW = -\Delta E_p = -(E_{p,f} - E_{p,i}) = E_{p,i} - E_{p,f}

La energía potencial gravitatoria de m3m_3 en un punto P debida a las dos masas m1m_1 y m2m_2 es:

Ep=−G⋅m1⋅m3/r1−G⋅m2⋅m3/r2E_p = -G \cdot m_1 \cdot m_3 / r_1 - G \cdot m_2 \cdot m_3 / r_2
Punto inicial: $A = (0, 0)$ m

Distancia de AA a m1m_1 en (0,2)(0, 2) m:

r1A=(0−0)2+(0−2)2=2 mr_{1A} = \sqrt{(0-0)^2 + (0-2)^2} = 2 \text{ m}

Distancia de AA a m2m_2 en (0,−3)(0, -3) m:

r2A=(0−0)2+(0−(−3))2=3 mr_{2A} = \sqrt{(0-0)^2 + (0-(-3))^2} = 3 \text{ m}

Energía potencial gravitatoria en el punto inicial AA:

Ep,A=−G⋅m1⋅m3r1A−G⋅m2⋅m3r2AE_{p,A} = -G \cdot \frac{m_1 \cdot m_3}{r_{1A}} - G \cdot \frac{m_2 \cdot m_3}{r_{2A}}
Ep,A=−6,67×10−11⋅2⋅12−6,67×10−11⋅3⋅13E_{p,A} = -6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2} - 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3}
Ep,A=−6,67×10−11⋅1−6,67×10−11⋅1=−2×6,67×10−11E_{p,A} = -6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 1 - 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 1 = -2 \times 6{,}67 \times 10^{-11}
Ep,A=−1,334×10−10 JE_{p,A} = -1{,}334 \times 10^{-10} \text{ J}
Punto final: $B = (1, 0)$ m

Distancia de BB a m1m_1 en (0,2)(0, 2) m:

r1B=(1−0)2+(0−2)2=1+4=5≈2,236 mr_{1B} = \sqrt{(1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2{,}236 \text{ m}

Distancia de BB a m2m_2 en (0,−3)(0, -3) m:

r2B=(1−0)2+(0−(−3))2=1+9=10≈3,162 mr_{2B} = \sqrt{(1-0)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3{,}162 \text{ m}

Energía potencial gravitatoria en el punto final BB:

Ep,B=−G⋅m1⋅m3r1B−G⋅m2⋅m3r2BE_{p,B} = -G \cdot \frac{m_1 \cdot m_3}{r_{1B}} - G \cdot \frac{m_2 \cdot m_3}{r_{2B}}
Ep,B=−6,67×10−11⋅25−6,67×10−11⋅310E_{p,B} = -6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} - 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}
Ep,B=−6,67×10−11⋅22,236−6,67×10−11⋅33,162E_{p,B} = -6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{2}{2{,}236} - 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{3}{3{,}162}
Ep,B=−6,67×10−11×0,8944−6,67×10−11×0,9487E_{p,B} = -6{,}67 \times 10^{-11} \times 0{,}8944 - 6{,}67 \times 10^{-11} \times 0{,}9487
Ep,B=−5,966×10−11−6,328×10−11=−1,229×10−10 JE_{p,B} = -5{,}966 \times 10^{-11} - 6{,}328 \times 10^{-11} = -1{,}229 \times 10^{-10} \text{ J}
Cálculo del trabajo
W=Ep,A−Ep,B=−1,334×10−10−(−1,229×10−10)W = E_{p,A} - E_{p,B} = -1{,}334 \times 10^{-10} - (-1{,}229 \times 10^{-10})
W=(−1,334+1,229)×10−10=−1,05×10−11 JW = (-1{,}334 + 1{,}229) \times 10^{-10} = -1{,}05 \times 10^{-11} \text{ J}

El trabajo necesario para trasladar m3m_3 desde (0,0)(0,0) hasta (1,0)(1,0) es W≈−1,05×10−11W \approx -1{,}05 \times 10^{-11} J. El signo negativo indica que hay que realizar trabajo sobre el sistema (el campo gravitatorio se opone al desplazamiento, ya que m3m_3 se aleja del potencial más negativo).