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T4: Funciones
Teorema fundamental del cálculo
Problema
2022 · Ordinaria · Suplente
3A
Examen
EJERCICIO 3

Considera la función F:[0,2π]→RF : [0, 2\pi] \to \mathbb{R} definida por F(x)=∫0x2tcos⁡(t) dtF(x) = \int_{0}^{x} 2t \cos(t) \, dt.

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de FF.b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de FF en el punto de abscisa x=πx = \pi.
MonotoníaRecta tangenteIntegrales
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de FF.

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de F(x)F(x), necesitamos encontrar su derivada, F′(x)F'(x). Por el Teorema Fundamental del Cálculo, si F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt, entonces F′(x)=f(x)F'(x) = f(x).

F′(x)=2xcos⁡(x)F'(x) = 2x \cos(x)

Analizamos el signo de F′(x)F'(x) en el intervalo dado [0,2π][0, 2\pi]. Puesto que x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi], el término 2x2x es no negativo. Por lo tanto, el signo de F′(x)F'(x) viene determinado por el signo de cos⁡(x)\cos(x).1. F(x)F(x) es creciente cuando F′(x)>0F'(x) > 0, lo que ocurre cuando cos⁡(x)>0\cos(x) > 0.

cos⁡(x)>0parax∈[0,π2)∪(3π2,2π]\cos(x) > 0 \quad \text{para} \quad x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi]

2. F(x)F(x) es decreciente cuando F′(x)<0F'(x) < 0, lo que ocurre cuando cos⁡(x)<0\cos(x) < 0.

cos⁡(x)<0parax∈(π2,3π2)\cos(x) < 0 \quad \text{para} \quad x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})

Por lo tanto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:Intervalos de crecimiento: [0,π/2)[0, \pi/2) y (3π/2,2π](3\pi/2, 2\pi].Intervalos de decrecimiento: (π/2,3π/2)(\pi/2, 3\pi/2).

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de FF en el punto de abscisa x=πx = \pi.

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función F(x)F(x) en el punto de abscisa x0x_0 viene dada por:

y−F(x0)=F′(x0)(x−x0)y - F(x_0) = F'(x_0)(x - x_0)

En este caso, x0=πx_0 = \pi. Primero, calculamos F′(π)F'(\pi).

F′(π)=2πcos⁡(π)=2π(−1)=−2πF'(\pi) = 2\pi \cos(\pi) = 2\pi (-1) = -2\pi

Ahora, calculamos F(π)F(\pi) evaluando la integral definida:

F(π)=∫0π2tcos⁡(t) dtF(\pi) = \int_{0}^{\pi} 2t \cos(t) \, dt

Utilizamos el método de integración por partes: ∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du.

{u=2t  ⟹  du=2 dtdv=cos⁡(t) dt  ⟹  v=sin⁡(t)\begin{cases} u = 2t \implies du = 2 \, dt \\ dv = \cos(t) \, dt \implies v = \sin(t) \end{cases}
∫2tcos⁡(t) dt=2tsin⁡(t)−∫2sin⁡(t) dt=2tsin⁡(t)+2cos⁡(t)\int 2t \cos(t) \, dt = 2t \sin(t) - \int 2 \sin(t) \, dt = 2t \sin(t) + 2\cos(t)

Ahora evaluamos la integral definida:

F(π)=[2tsin⁡(t)+2cos⁡(t)]0π=(2πsin⁡(π)+2cos⁡(π))−(2(0)sin⁡(0)+2cos⁡(0))F(\pi) = [2t \sin(t) + 2\cos(t)]_{0}^{\pi} = (2\pi \sin(\pi) + 2\cos(\pi)) - (2(0) \sin(0) + 2\cos(0))
F(π)=(2π⋅0+2⋅(−1))−(0+2⋅1)=(−2)−(2)=−4F(\pi) = (2\pi \cdot 0 + 2 \cdot (-1)) - (0 + 2 \cdot 1) = (-2) - (2) = -4

Tenemos F(π)=−4F(\pi) = -4 y F′(π)=−2πF'(\pi) = -2\pi. Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta tangente:

y−(−4)=−2π(x−π)y - (-4) = -2\pi (x - \pi)
y+4=−2πx+2π2y + 4 = -2\pi x + 2\pi^2
y=−2πx+2π2−4y = -2\pi x + 2\pi^2 - 4