T3: Vibraciones y ondas

Movimiento armónico simple

Teoría

2016 · Ordinaria · Titular

2A-b

Dos partículas de igual masa, $m$ , unidas a dos resortes de constantes $k_1$ y $k_2$ ( $k_1 > k_2$ ), describen movimientos armónicos simples de igual amplitud.

b) ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al pasar por su posición de equilibrio? ¿Cuál de las dos oscila con mayor periodo? Razone las respuestas.

Energía cinéticaPeriodoOscilador armónico

b) Análisis de la energía cinética en la posición de equilibrio y del periodo de oscilación.

Energía cinética en la posición de equilibrio

En la posición de equilibrio, la energía potencial elástica es nula, por lo que toda la energía mecánica del sistema se convierte en energía cinética. La energía mecánica total de un oscilador armónico es:

E = \frac{1}{2} k A^2

donde $A$ es la amplitud y $k$ es la constante del resorte. Como ambas partículas tienen la misma amplitud $A$ , y $k_1 > k_2$ , se cumple que:

E_1 = \frac{1}{2} k_1 A^2 > E_2 = \frac{1}{2} k_2 A^2

En la posición de equilibrio, toda esa energía es cinética ( $E_c = E_{total}$ ), por lo tanto la partícula unida al resorte de constante $k_1$ tiene mayor energía cinética al pasar por su posición de equilibrio.

Periodo de oscilación

El periodo de oscilación de un oscilador armónico simple masa-resorte viene dado por:

T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Como ambas partículas tienen la misma masa $m$ , y $k_1 > k_2$ , se obtiene que:

T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} < T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}

Por tanto, la partícula unida al resorte de constante $k_2$ (el más débil) oscila con mayor periodo. Un resorte menos rígido ejerce una fuerza restauradora menor, lo que hace que la partícula tarde más tiempo en completar cada oscilación.