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T1: Interacción gravitatoria
Gravedad y velocidad de escape
Problema
2021 · Extraordinaria · Reserva
A.2-b
Examen

La masa de la Luna es 0,0120,012 veces la masa de la Tierra, y el radio lunar es 0,270,27 veces el radio de la Tierra. Calcule:

i) La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna.ii) La velocidad de escape de un objeto desde la superficie de la Luna.

Datos: g=9,8 m⋅s−2g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}; RT=6370 kmR_T = 6370 \text{ km}

Lunagravedad superficialvelocidad de escape

Datos proporcionados:

ML=0,012⋅MTM_L = 0,012 \cdot M_T
RL=0,27⋅RTR_L = 0,27 \cdot R_T
gT=9,8 m⋅s−2g_T = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}
RT=6370 km=6,37×106 mR_T = 6370 \text{ km} = 6,37 \times 10^6 \text{ m}
i) La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna.

La aceleración de la gravedad en la superficie de un cuerpo celeste se calcula mediante la Ley de Gravitación Universal de Newton:

g=G⋅MR2g = \frac{G \cdot M}{R^2}

Donde GG es la constante de gravitación universal, MM es la masa del cuerpo y RR es su radio. Aplicando esta fórmula para la Tierra y la Luna:

gT=G⋅MTRT2g_T = \frac{G \cdot M_T}{R_T^2}
gL=G⋅MLRL2g_L = \frac{G \cdot M_L}{R_L^2}

Sustituimos las relaciones dadas para la masa y el radio de la Luna en términos de los de la Tierra:

gL=G⋅(0,012⋅MT)(0,27⋅RT)2g_L = \frac{G \cdot (0,012 \cdot M_T)}{(0,27 \cdot R_T)^2}
gL=0,0120,272⋅G⋅MTRT2g_L = \frac{0,012}{0,27^2} \cdot \frac{G \cdot M_T}{R_T^2}

Reconocemos que G⋅MTRT2\frac{G \cdot M_T}{R_T^2} es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, gTg_T.

gL=0,0120,0729⋅gTg_L = \frac{0,012}{0,0729} \cdot g_T
gL=0,0120,0729⋅9,8 m⋅s−2g_L = \frac{0,012}{0,0729} \cdot 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}
gL≈0,16460878⋅9,8 m⋅s−2g_L \approx 0,16460878 \cdot 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}
gL≈1,613 m⋅s−2g_L \approx 1,613 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna es aproximadamente 1,61 m⋅s−21,61 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}.

ii) La velocidad de escape de un objeto desde la superficie de la Luna.

La velocidad de escape de un objeto desde la superficie de un cuerpo celeste se calcula mediante la fórmula:

ve=2⋅G⋅MRv_e = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{R}}

Donde GG es la constante de gravitación universal, MM es la masa del cuerpo y RR es su radio. Aplicamos esta fórmula para la Luna, sustituyendo MLM_L y RLR_L en términos de MTM_T y RTR_T:

veL=2⋅G⋅MLRLv_{eL} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M_L}{R_L}}
veL=2⋅G⋅(0,012⋅MT)(0,27⋅RT)v_{eL} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot (0,012 \cdot M_T)}{(0,27 \cdot R_T)}}
veL=0,0120,27⋅2⋅G⋅MTRTv_{eL} = \sqrt{\frac{0,012}{0,27} \cdot \frac{2 \cdot G \cdot M_T}{R_T}}

Podemos expresar G⋅MTG \cdot M_T en función de gTg_T y RTR_T a partir de la expresión de gTg_T:

G⋅MT=gT⋅RT2G \cdot M_T = g_T \cdot R_T^2

Sustituimos esto en la expresión de la velocidad de escape para la Luna:

veL=0,0120,27⋅2⋅(gT⋅RT2)RTv_{eL} = \sqrt{\frac{0,012}{0,27} \cdot \frac{2 \cdot (g_T \cdot R_T^2)}{R_T}}
veL=0,0120,27⋅2⋅gT⋅RTv_{eL} = \sqrt{\frac{0,012}{0,27} \cdot 2 \cdot g_T \cdot R_T}

Ahora, sustituimos los valores numéricos:

veL=0,0120,27⋅2⋅9,8 m⋅s−2⋅6,37×106 mv_{eL} = \sqrt{\frac{0,012}{0,27} \cdot 2 \cdot 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot 6,37 \times 10^6 \text{ m}}
veL=0,04444...⋅2⋅9,8⋅6,37×106 m2⋅s−2v_{eL} = \sqrt{0,04444... \cdot 2 \cdot 9,8 \cdot 6,37 \times 10^6 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}
veL=0,04444...⋅124852000 m2⋅s−2v_{eL} = \sqrt{0,04444... \cdot 124852000 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}
veL=5548977,7... m2⋅s−2v_{eL} = \sqrt{5548977,7... \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}
veL≈2355,6 m⋅s−1v_{eL} \approx 2355,6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

La velocidad de escape desde la superficie de la Luna es aproximadamente 2356 m⋅s−12356 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}.