T1: Matrices y determinantes · Matrices inversas y ecuaciones matriciales — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Matrices inversas y ecuaciones matriciales

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ 0 & 2 & -3 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , con $m$ un parámetro real.

a) ¿Para qué valores del parámetro

m

existe la matriz inversa de

A

?b) Para

m = 2

, resuelva la ecuación matricial

X \cdot A - A^2 = I_3

MatricesDeterminantesEcuación matricial+1

a) Para que exista la matriz inversa de

A

, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de

A

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ 0 & 2 & -3 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}

\det(A) = 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-3) \cdot 1) - (-1) \cdot (0 \cdot 1 - (-3) \cdot m) + m \cdot (0 \cdot 1 - 2 \cdot m)

\det(A) = 1 \cdot (2 + 3) + 1 \cdot (0 + 3m) + m \cdot (0 - 2m)

\det(A) = 5 + 3m - 2m^2

Ahora, igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ para los cuales no existe la inversa:

-2m^2 + 3m + 5 = 0

Multiplicando por $-1$ para facilitar la resolución de la ecuación cuadrática:

2m^2 - 3m - 5 = 0

Usamos la fórmula general para las ecuaciones de segundo grado $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ :

m = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}

m = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}

m = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4}

m = \frac{3 \pm 7}{4}

Obtenemos dos soluciones para $m$ :

m_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}

m_2 = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1

Por lo tanto, la matriz inversa de $A$ existe para todos los valores de $m$ excepto cuando $m = -1$ o $m = \frac{5}{2}$ .

b) Para

m = 2

, la matriz

A

es:

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Sabemos del apartado anterior que para $m=2$ , el determinante de $A$ es $\det(A) = -2(2)^2 + 3(2) + 5 = -8 + 6 + 5 = 3$ . Como $\det(A) \neq 0$ , la matriz inversa de $A$ existe.La ecuación matricial es $X \cdot A - A^2 = I_3$ . Despejamos $X$ :

X \cdot A = I_3 + A^2

Multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha:

X = (I_3 + A^2) \cdot A^{-1}

Primero calculamos $A^2$ :

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)-1(0)+2(2) & 1(-1)-1(2)+2(1) & 1(2)-1(-3)+2(1) \\ 0(1)+2(0)-3(2) & 0(-1)+2(2)-3(1) & 0(2)+2(-3)-3(1) \\ 2(1)+1(0)+1(2) & 2(-1)+1(2)+1(1) & 2(2)+1(-3)+1(1) \end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 7 \\ -6 & 1 & -9 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Ahora calculamos $I_3 + A^2$ :

I_3 + A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & -1 & 7 \\ -6 & 1 & -9 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -1 & 7 \\ -6 & 2 & -9 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}

Para calcular $A^{-1}$ , necesitamos la matriz adjunta de $A$ . Ya calculamos $\det(A) = 3$ . La matriz de cofactores $C$ de $A$ es:

C_{11} = 5 \quad C_{12} = -6 \quad C_{13} = -4

C_{21} = 3 \quad C_{22} = -3 \quad C_{23} = -3

C_{31} = -1 \quad C_{32} = 3 \quad C_{33} = 2

La matriz de cofactores es:

C = \begin{pmatrix} 5 & -6 & -4 \\ 3 & -3 & -3 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}

La matriz adjunta $Adj(A)$ es la traspuesta de la matriz de cofactores:

Adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} 5 & 3 & -1 \\ -6 & -3 & 3 \\ -4 & -3 & 2 \end{pmatrix}

Finalmente, $A^{-1}$ es:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} Adj(A) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 & 3 & -1 \\ -6 & -3 & 3 \\ -4 & -3 & 2 \end{pmatrix}

Ahora calculamos $X = (I_3 + A^2) \cdot A^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} 6 & -1 & 7 \\ -6 & 2 & -9 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 5 & 3 & -1 \\ -6 & -3 & 3 \\ -4 & -3 & 2 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 6(5)-1(-6)+7(-4) & 6(3)-1(-3)+7(-3) & 6(-1)-1(3)+7(2) \\ -6(5)+2(-6)-9(-4) & -6(3)+2(-3)-9(-3) & -6(-1)+2(3)-9(2) \\ 4(5)+1(-6)+3(-4) & 4(3)+1(-3)+3(-3) & 4(-1)+1(3)+3(2) \end{pmatrix}

X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 30+6-28 & 18+3-21 & -6-3+14 \\ -30-12+36 & -18-6+27 & 6+6-18 \\ 20-6-12 & 12-3-9 & -4+3+6 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 8 & 0 & 5 \\ -6 & 3 & -6 \\ 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}

Finalmente, la matriz $X$ es:

X = \begin{pmatrix} 8/3 & 0 & 5/3 \\ -2 & 1 & -2 \\ 2/3 & 0 & 5/3 \end{pmatrix}