T1: Interacción gravitatoria

Energía y trabajo

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

A1-b

Sobre un cuerpo de $3\text{ kg}$ , que está inicialmente en reposo sobre un plano horizontal, actúa una fuerza de $12\text{ N}$ paralela al plano. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es $0,2$ . Determine, mediante consideraciones energéticas:

b) i) el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento tras recorrer el cuerpo una distancia de

10\text{ m}

.ii) la velocidad del cuerpo después de recorrer los

10\text{ m}

Dato: $g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$

RozamientoTrabajoVelocidad+1

b) i) Para calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, primero necesitamos determinar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Las fuerzas verticales son el peso ( $P$ ) y la fuerza normal ( $N$ ). Como el plano es horizontal y no hay movimiento vertical, la fuerza normal es igual al peso.

P = m \cdot g

P = 3\text{ kg} \cdot 9,8\text{ m} \cdot \text{s}^{-2} = 29,4\text{ N}

N = P = 29,4\text{ N}

La fuerza de rozamiento ( $F_{fr}$ ) se calcula como el producto del coeficiente de rozamiento cinético ( $\mu_k$ ) por la fuerza normal.

F_{fr} = \mu_k \cdot N

F_{fr} = 0,2 \cdot 29,4\text{ N} = 5,88\text{ N}

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ( $W_{fr}$ ) es el producto de la fuerza de rozamiento por la distancia recorrida y el coseno del ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. Como la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, el ángulo es $180^\circ$ .

W_{fr} = F_{fr} \cdot d \cdot \cos(180^\circ)

W_{fr} = 5,88\text{ N} \cdot 10\text{ m} \cdot (-1)

W_{fr} = -58,8\text{ J}

b) ii) Para determinar la velocidad del cuerpo después de recorrer

10\text{ m}

, utilizaremos el Teorema de las Fuerzas Vivas (Teorema de la Energía Cinética), que establece que el trabajo neto realizado sobre un cuerpo es igual al cambio en su energía cinética.

W_{net} = \Delta E_k = E_{k,f} - E_{k,0}

Primero, calculamos el trabajo realizado por la fuerza aplicada ( $W_F$ ). Como la fuerza es paralela al plano y en la dirección del movimiento, el ángulo es $0^\circ$ .

W_F = F \cdot d \cdot \cos(0^\circ)

W_F = 12\text{ N} \cdot 10\text{ m} \cdot 1 = 120\text{ J}

El trabajo realizado por el peso ( $W_P$ ) y la fuerza normal ( $W_N$ ) es cero, ya que son perpendiculares al desplazamiento.

W_P = 0\text{ J}

W_N = 0\text{ J}

El trabajo neto es la suma de los trabajos realizados por todas las fuerzas.

W_{net} = W_F + W_{fr} + W_P + W_N

W_{net} = 120\text{ J} + (-58,8\text{ J}) + 0\text{ J} + 0\text{ J}

W_{net} = 61,2\text{ J}

Ahora aplicamos el Teorema de las Fuerzas Vivas. El cuerpo parte del reposo, por lo que su energía cinética inicial es cero.

E_{k,0} = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (0)^2 = 0\text{ J}

W_{net} = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0

61,2\text{ J} = \frac{1}{2} (3\text{ kg}) v_f^2

v_f^2 = \frac{2 \cdot 61,2\text{ J}}{3\text{ kg}}

v_f^2 = \frac{122,4\text{ J}}{3\text{ kg}}

v_f^2 = 40,8\text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}

v_f = \sqrt{40,8\text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}

v_f \approx 6,39\text{ m} \cdot \text{s}^{-1}