a) Campo gravitatorio resultante en el origen O(0,0) El campo gravitatorio creado por una masa puntual m m m en un punto situado a distancia r r r es:
g ⃗ = − G ⋅ m r 2 r ^ \vec{g} = -\frac{G \cdot m}{r^2} \hat{r} g = − r 2 G ⋅ m r ^ donde r ^ \hat{r} r ^ es el vector unitario que apunta desde la masa hacia el punto de observación. Calculamos por separado el campo de cada masa en O(0,0).
Campo creado por $m_1 = 3$ kg en $P_1(-2, 1)$ m
Vector desde P 1 P_1 P 1 hasta O:
r 1 ⃗ = O − P 1 = ( 0 − ( − 2 ) ) i ^ + ( 0 − 1 ) j ^ = 2 i ^ − 1 j ^ m \vec{r_1} = O - P_1 = (0-(-2))\,\hat{i} + (0-1)\,\hat{j} = 2\,\hat{i} - 1\,\hat{j} \text{ m} r 1 = O − P 1 = ( 0 − ( − 2 )) i ^ + ( 0 − 1 ) j ^ = 2 i ^ − 1 j ^ m Módulo de r 1 ⃗ \vec{r_1} r 1 :
r 1 = 2 2 + ( − 1 ) 2 = 5 ≈ 2,236 m r_1 = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}236 \text{ m} r 1 = 2 2 + ( − 1 ) 2 = 5 ≈ 2 , 236 m Vector unitario r 1 ^ \hat{r_1} r 1 ^ :
r 1 ^ = r 1 ⃗ r 1 = 2 i ^ − j ^ 5 \hat{r_1} = \frac{\vec{r_1}}{r_1} = \frac{2\,\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{5}} r 1 ^ = r 1 r 1 = 5 2 i ^ − j ^ Campo gravitatorio de m 1 m_1 m 1 en O:
g 1 ⃗ = G ⋅ m 1 r 1 2 r 1 ^ = 6,67 × 10 − 11 ⋅ 3 ( 5 ) 2 ⋅ ( 2 i ^ − j ^ ) 5 \vec{g_1} = \frac{G \cdot m_1}{r_1^2}\,\hat{r_1} = \frac{6{,}67\times10^{-11} \cdot 3}{(\sqrt{5})^2} \cdot \frac{(2\,\hat{i} - \hat{j})}{\sqrt{5}} g 1 = r 1 2 G ⋅ m 1 r 1 ^ = ( 5 ) 2 6 , 67 × 1 0 − 11 ⋅ 3 ⋅ 5 ( 2 i ^ − j ^ ) Calculamos el módulo del campo de m 1 m_1 m 1 :
∣ g 1 ⃗ ∣ = 6,67 × 10 − 11 ⋅ 3 5 = 2,001 × 10 − 10 5 = 4,002 × 10 − 11 N/kg |\vec{g_1}| = \frac{6{,}67\times10^{-11} \cdot 3}{5} = \frac{2{,}001\times10^{-10}}{5} = 4{,}002\times10^{-11} \text{ N/kg} ∣ g 1 ∣ = 5 6 , 67 × 1 0 − 11 ⋅ 3 = 5 2 , 001 × 1 0 − 10 = 4 , 002 × 1 0 − 11 N/kg Componentes de g 1 ⃗ \vec{g_1} g 1 :
g 1 x = 4,002 × 10 − 11 ⋅ 2 5 = 4,002 × 10 − 11 ⋅ 0,8944 = 3,579 × 10 − 11 N/kg g_{1x} = 4{,}002\times10^{-11} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4{,}002\times10^{-11} \cdot 0{,}8944 = 3{,}579\times10^{-11} \text{ N/kg} g 1 x = 4 , 002 × 1 0 − 11 ⋅ 5 2 = 4 , 002 × 1 0 − 11 ⋅ 0 , 8944 = 3 , 579 × 1 0 − 11 N/kg g 1 y = 4,002 × 10 − 11 ⋅ − 1 5 = 4,002 × 10 − 11 ⋅ ( − 0,4472 ) = − 1,790 × 10 − 11 N/kg g_{1y} = 4{,}002\times10^{-11} \cdot \frac{-1}{\sqrt{5}} = 4{,}002\times10^{-11} \cdot (-0{,}4472) = -1{,}790\times10^{-11} \text{ N/kg} g 1 y = 4 , 002 × 1 0 − 11 ⋅ 5 − 1 = 4 , 002 × 1 0 − 11 ⋅ ( − 0 , 4472 ) = − 1 , 790 × 1 0 − 11 N/kg Campo creado por $m_2 = 5$ kg en $P_2(3, 0)$ m
Vector desde P 2 P_2 P 2 hasta O:
r 2 ⃗ = O − P 2 = ( 0 − 3 ) i ^ + ( 0 − 0 ) j ^ = − 3 i ^ m \vec{r_2} = O - P_2 = (0-3)\,\hat{i} + (0-0)\,\hat{j} = -3\,\hat{i} \text{ m} r 2 = O − P 2 = ( 0 − 3 ) i ^ + ( 0 − 0 ) j ^ = − 3 i ^ m Módulo: r 2 = 3 r_2 = 3 r 2 = 3 m. Vector unitario: r 2 ^ = − i ^ \hat{r_2} = -\hat{i} r 2 ^ = − i ^ Campo gravitatorio de m 2 m_2 m 2 en O:
g 2 ⃗ = G ⋅ m 2 r 2 2 r 2 ^ = 6,67 × 10 − 11 ⋅ 5 3 2 ⋅ ( − i ^ ) \vec{g_2} = \frac{G \cdot m_2}{r_2^2}\,\hat{r_2} = \frac{6{,}67\times10^{-11} \cdot 5}{3^2} \cdot (-\hat{i}) g 2 = r 2 2 G ⋅ m 2 r 2 ^ = 3 2 6 , 67 × 1 0 − 11 ⋅ 5 ⋅ ( − i ^ ) ∣ g 2 ⃗ ∣ = 6,67 × 10 − 11 ⋅ 5 9 = 3,335 × 10 − 10 9 = 3,706 × 10 − 11 N/kg |\vec{g_2}| = \frac{6{,}67\times10^{-11} \cdot 5}{9} = \frac{3{,}335\times10^{-10}}{9} = 3{,}706\times10^{-11} \text{ N/kg} ∣ g 2 ∣ = 9 6 , 67 × 1 0 − 11 ⋅ 5 = 9 3 , 335 × 1 0 − 10 = 3 , 706 × 1 0 − 11 N/kg Componentes de g 2 ⃗ \vec{g_2} g 2 :
g 2 x = − 3,706 × 10 − 11 N/kg , g 2 y = 0 g_{2x} = -3{,}706\times10^{-11} \text{ N/kg}, \quad g_{2y} = 0 g 2 x = − 3 , 706 × 1 0 − 11 N/kg , g 2 y = 0 Campo gravitatorio resultante en O
g ⃗ = g 1 ⃗ + g 2 ⃗ \vec{g} = \vec{g_1} + \vec{g_2} g = g 1 + g 2 g x = 3,579 × 10 − 11 + ( − 3,706 × 10 − 11 ) = − 0,127 × 10 − 11 N/kg g_x = 3{,}579\times10^{-11} + (-3{,}706\times10^{-11}) = -0{,}127\times10^{-11} \text{ N/kg} g x = 3 , 579 × 1 0 − 11 + ( − 3 , 706 × 1 0 − 11 ) = − 0 , 127 × 1 0 − 11 N/kg g y = − 1,790 × 10 − 11 + 0 = − 1,790 × 10 − 11 N/kg g_y = -1{,}790\times10^{-11} + 0 = -1{,}790\times10^{-11} \text{ N/kg} g y = − 1 , 790 × 1 0 − 11 + 0 = − 1 , 790 × 1 0 − 11 N/kg g ⃗ = ( − 0,127 i ^ − 1,790 j ^ ) × 10 − 11 N/kg \vec{g} = (-0{,}127\,\hat{i} - 1{,}790\,\hat{j})\times10^{-11} \text{ N/kg} g = ( − 0 , 127 i ^ − 1 , 790 j ^ ) × 1 0 − 11 N/kg Módulo del campo resultante:
∣ g ⃗ ∣ = ( − 0,127 ) 2 + ( − 1,790 ) 2 × 10 − 11 = 0,0161 + 3,2041 × 10 − 11 |\vec{g}| = \sqrt{(-0{,}127)^2 + (-1{,}790)^2}\times10^{-11} = \sqrt{0{,}0161 + 3{,}2041}\times10^{-11} ∣ g ∣ = ( − 0 , 127 ) 2 + ( − 1 , 790 ) 2 × 1 0 − 11 = 0 , 0161 + 3 , 2041 × 1 0 − 11 ∣ g ⃗ ∣ = 3,220 × 10 − 11 = 1,794 × 10 − 11 N/kg |\vec{g}| = \sqrt{3{,}220}\times10^{-11} = 1{,}794\times10^{-11} \text{ N/kg} ∣ g ∣ = 3 , 220 × 1 0 − 11 = 1 , 794 × 1 0 − 11 N/kg Ángulo respecto al eje x x x (en el tercer cuadrante):
θ = arctan ( g y g x ) = arctan ( − 1,790 − 0,127 ) ≈ arctan ( 14,09 ) ≈ 86 ∘ \theta = \arctan\left(\frac{g_y}{g_x}\right) = \arctan\left(\frac{-1{,}790}{-0{,}127}\right) \approx \arctan(14{,}09) \approx 86^\circ θ = arctan ( g x g y ) = arctan ( − 0 , 127 − 1 , 790 ) ≈ arctan ( 14 , 09 ) ≈ 8 6 ∘ Como ambas componentes son negativas, el vector resultante apunta hacia el tercer cuadrante, formando un ángulo de aproximadamente 86 ∘ 86^\circ 8 6 ∘ bajo el eje x x x negativo, es decir, casi en la dirección − j ^ -\hat{j} − j ^ con una pequeña inclinación hacia − i ^ -\hat{i} − i ^ .
X Y m m₁=3kg P₁(-2,1) m m₂=5kg P₂(3,0) O(0,0) g1 g2 g_neta
