T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2020 · Ordinaria · Titular

4-a

a) Dos partículas de diferente masa tienen asociada una misma longitud de onda de De Broglie. Sabiendo que la energía cinética de una de ellas es el doble que la otra, determine la relación entre sus masas.

Longitud de onda de De BroglieEnergía cinética

La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa $m$ y velocidad $v$ es:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}

Si ambas partículas tienen la misma longitud de onda $\lambda$ , entonces tienen el mismo momento lineal $p$ :

p_1 = p_2 = p \implies m_1 v_1 = m_2 v_2

La energía cinética de cada partícula se puede expresar en función del momento lineal $p$ :

E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}

Por tanto, para cada partícula:

E_{k1} = \frac{p^2}{2m_1} \qquad E_{k2} = \frac{p^2}{2m_2}

Dividiendo ambas expresiones:

\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{p^2 / (2m_1)}{p^2 / (2m_2)} = \frac{m_2}{m_1}

Aplicando la condición del enunciado $E_{k1} = 2\,E_{k2}$ :

\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = 2 = \frac{m_2}{m_1}

De donde se obtiene la relación entre las masas:

\boxed{\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{2}}

Es decir, la partícula con mayor energía cinética ( $E_{k1}$ ) es la de menor masa ( $m_1 = m_2/2$ ). Esto tiene sentido físico: a igual momento lineal, la partícula menos masiva se mueve más rápido y, por tanto, tiene mayor energía cinética.