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T6: Teoría de muestras
Inferencia estadística para la proporción
Problema
2020 · Ordinaria · Reserva
8
Examen
EJERCICIO 8

Una tienda de ropa quiere estudiar la aceptación de un nuevo sistema de pago a través del teléfono móvil. Para ello realiza una encuesta entre 200200 de sus clientes elegidos al azar, resultando que 150150 de ellos sí estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.

a) Determine un intervalo de confianza al 97%97 \% para estimar la proporción de clientes de esa tienda que estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.b) Mediante una nueva encuesta se quiere estimar la proporción de clientes de esa tienda que usarían el nuevo sistema de pago, con un error máximo del 3 %3 \ \% y un nivel de confianza del 94 %94 \ \%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado anterior, ¿a cuántos clientes como mínimo habría que realizar la encuesta?
Proporción muestralIntervalo de confianzaTamaño de muestra
Resolución del Ejercicio 8
a) Determine un intervalo de confianza al 97%97 \% para estimar la proporción de clientes de esa tienda que estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.

En primer lugar, identificamos los datos de la muestra para calcular la proporción muestral p^\hat{p} y su complementario q^\hat{q}:

n=200,x=150  ⟹  p^=150200=0,75,q^=1−0,75=0,25n = 200, \quad x = 150 \implies \hat{p} = \frac{150}{200} = 0,75, \quad \hat{q} = 1 - 0,75 = 0,25

Para un nivel de confianza del 97%97 \%, calculamos el valor crítico zα/2z_{\alpha/2} utilizando la distribución normal estándar:

1−α=0,97  ⟹  α=0,03  ⟹  α2=0,0151 - \alpha = 0,97 \implies \alpha = 0,03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,015
P(Z≤zα/2)=1−0,015=0,985  ⟹  zα/2=2,17P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - 0,015 = 0,985 \implies z_{\alpha/2} = 2,17

El error máximo del intervalo se calcula mediante la fórmula:

E=zα/2⋅p^⋅q^n=2,17⋅0,75⋅0,25200≈2,17⋅0,0306=0,0664E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2,17 \cdot \sqrt{\frac{0,75 \cdot 0,25}{200}} \approx 2,17 \cdot 0,0306 = 0,0664

El intervalo de confianza al 97%97 \% es (p^−E,p^+E)(\hat{p} - E, \hat{p} + E):

IC=(0,75−0,0664,0,75+0,0664)=(0,6836,0,8164)IC = (0,75 - 0,0664, \quad 0,75 + 0,0664) = (0,6836, \quad 0,8164)
b) Mediante una nueva encuesta se quiere estimar la proporción de clientes de esa tienda que usarían el nuevo sistema de pago, con un error máximo del 3 %3 \ \% y un nivel de confianza del 94 %94 \ \%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado anterior, ¿a cuántos clientes como mínimo habría que realizar la encuesta?

Los nuevos parámetros para el cálculo del tamaño muestral son un error máximo E=0,03E = 0,03 y un nivel de confianza del 94 94 \ %.Calculamos el nuevo valor crítico zα/2z_{\alpha/2}:

1−α=0,94  ⟹  α=0,06  ⟹  α2=0,031 - \alpha = 0,94 \implies \alpha = 0,06 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,03
P(Z≤zα/2)=1−0,03=0,97  ⟹  zα/2=1,88P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - 0,03 = 0,97 \implies z_{\alpha/2} = 1,88

Utilizamos la fórmula del tamaño muestral para una proporción, manteniendo p^=0,75\hat{p} = 0,75 y q^=0,25\hat{q} = 0,25:

n=zα/22⋅p^⋅q^E2n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}
n=(1,88)2⋅0,75⋅0,25(0,03)2=3,5344⋅0,18750,0009≈736,33n = \frac{(1,88)^2 \cdot 0,75 \cdot 0,25}{(0,03)^2} = \frac{3,5344 \cdot 0,1875}{0,0009} \approx 736,33

Para garantizar que el error no supere el 3 3 \ %, debemos redondear el resultado al entero superior:

n≥737n \geq 737

Por lo tanto, habría que realizar la encuesta como mínimo a 737737 clientes.