T5: Integrales · Cálculo de áreas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Cálculo de áreas

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = x|x - 1|$ . Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $x = 0$ .

Integral definidaÁrea entre curvasValor absoluto

Definición de la función

En primer lugar, expresamos la función $f(x) = x|x - 1|$ como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto:

f(x) = \begin{cases} x(-(x - 1)) = -x^2 + x & \text{si } x < 1 \\ x(x - 1) = x^2 - x & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

Cálculo de la recta tangente en $x = 0$

Para hallar la ecuación de la recta tangente $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ en el punto de abscisa $x_0 = 0$ :1. Calculamos la imagen de la función en el punto: $f(0) = 0|0 - 1| = 0$ .2. Calculamos la derivada en el entorno de $x = 0$ (donde $x < 1$ ): $f'(x) = -2x + 1$ . Por tanto, la pendiente es $m = f'(0) = -2(0) + 1 = 1$ .La ecuación de la recta tangente es $y - 0 = 1(x - 0)$ , es decir, $y = x$ .

Puntos de corte entre la función y la recta tangente

Igualamos la función y la recta tangente para encontrar los límites de integración:

x|x - 1| = x \implies x(|x - 1| - 1) = 0

De aquí obtenemos dos soluciones: $x = 0$ y $|x - 1| = 1$ . Resolviendo el valor absoluto: $x - 1 = 1 \implies x = 2$ y $x - 1 = -1 \implies x = 0$ . Los puntos de corte son $x = 0$ y $x = 2$ .

Cálculo del área del recinto

El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la diferencia de las funciones en el intervalo $[0, 2]$ . Debido a la definición a trozos de la función, dividimos la integral en el punto $x = 1$ :

A = \int_{0}^{1} (x - (-x^2 + x)) \, dx + \int_{1}^{2} (x - (x^2 - x)) \, dx

Simplificamos las expresiones de los integrandos:

A = \int_{0}^{1} x^2 \, dx + \int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx

Calculamos cada una de las integrales:

\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}

\int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

Sumamos los resultados para obtener el área total:

A = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \text{ u}^2