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T2: Interacción electromagnética
Electrostática
Problema
2017 · Extraordinaria · Titular
2A-b
Examen
b) Dos pequeñas esferas cargadas están separadas una distancia de 5 cm5 \text{ cm}. La carga de una de las esferas es cuatro veces la de la otra y entre ambas existe una fuerza de atracción de 0,15 N0,15 \text{ N}. Calcule la carga de cada esfera y el módulo del campo eléctrico en el punto medio del segmento que las une.

Dato: K=9⋅109 N m2 C−2K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N m}^{2} \text{ C}^{-2}

Ley de CoulombCampo eléctricoCargas puntuales
b) Cálculo de las cargas y el campo eléctrico en el punto medio.

Llamamos q1=qq_1 = q y q2=4qq_2 = 4q a las cargas de las dos esferas. Como la fuerza es de atracción, las cargas tienen signos contrarios: q1=q>0q_1 = q > 0 y q2=−4q<0q_2 = -4q < 0 (o viceversa).Datos: d=5 cm=0,05 md = 5 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}, F=0,15 NF = 0{,}15 \text{ N}, K=9⋅109 N m2 C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}.

1) Cálculo de las cargas

Aplicamos la Ley de Coulomb:

F=K∣q1∣⋅∣q2∣d2F = K \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{d^2}
0,15=9⋅109⋅q⋅4q(0,05)20{,}15 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{q \cdot 4q}{(0{,}05)^2}
0,15=9⋅109⋅4q22,5⋅10−30{,}15 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4q^2}{2{,}5 \cdot 10^{-3}}
4q2=0,15⋅2,5⋅10−39⋅109=3,75⋅10−49⋅109=4,167⋅10−14 C24q^2 = \frac{0{,}15 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^9} = \frac{3{,}75 \cdot 10^{-4}}{9 \cdot 10^9} = 4{,}167 \cdot 10^{-14} \text{ C}^2
q2=4,167⋅10−144=1,042⋅10−14 C2q^2 = \frac{4{,}167 \cdot 10^{-14}}{4} = 1{,}042 \cdot 10^{-14} \text{ C}^2
q=1,042⋅10−14≈1,02⋅10−7 Cq = \sqrt{1{,}042 \cdot 10^{-14}} \approx 1{,}02 \cdot 10^{-7} \text{ C}

Por tanto, las cargas son:

q1=+1,02⋅10−7 C≈+1,02⋅10−7 Cq_1 = +1{,}02 \cdot 10^{-7} \text{ C} \approx +1{,}02 \cdot 10^{-7} \text{ C}
q2=−4q=−4,08⋅10−7 Cq_2 = -4q = -4{,}08 \cdot 10^{-7} \text{ C}
2) Campo eléctrico en el punto medio

El punto medio MM está a r=d/2=0,025 mr = d/2 = 0{,}025 \text{ m} de cada esfera. Situamos q1=+qq_1 = +q en el punto AA (izquierda) y q2=−4qq_2 = -4q en el punto BB (derecha), con MM en el centro.

XY+q₁ = +q-q₂ = -4qME1E2E_neta

Campo creado por q1=+qq_1 = +q en MM: apunta hacia la derecha (alejándose de la carga positiva).

E1=K∣q1∣r2=9⋅109⋅1,02⋅10−7(0,025)2E_1 = K \frac{|q_1|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1{,}02 \cdot 10^{-7}}{(0{,}025)^2}
E1=9⋅109⋅1,02⋅10−76,25⋅10−4=9⋅109⋅1,632⋅10−4=1,469⋅106 N/C(→)E_1 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1{,}02 \cdot 10^{-7}}{6{,}25 \cdot 10^{-4}} = 9 \cdot 10^9 \cdot 1{,}632 \cdot 10^{-4} = 1{,}469 \cdot 10^6 \text{ N/C} \quad (\rightarrow)

Campo creado por q2=−4qq_2 = -4q en MM: apunta hacia la derecha (atrayendo hacia la carga negativa).

E2=K∣q2∣r2=9⋅109⋅4,08⋅10−7(0,025)2E_2 = K \frac{|q_2|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4{,}08 \cdot 10^{-7}}{(0{,}025)^2}
E2=9⋅109⋅4,08⋅10−76,25⋅10−4=9⋅109⋅6,528⋅10−4=5,875⋅106 N/C(→)E_2 = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4{,}08 \cdot 10^{-7}}{6{,}25 \cdot 10^{-4}} = 9 \cdot 10^9 \cdot 6{,}528 \cdot 10^{-4} = 5{,}875 \cdot 10^6 \text{ N/C} \quad (\rightarrow)

Ambos campos apuntan en el mismo sentido (hacia la derecha, hacia q2q_2), por lo que se suman:

Etotal=E1+E2=(1,469+5,875)⋅106≈7,34⋅106 N/CE_{total} = E_1 + E_2 = (1{,}469 + 5{,}875) \cdot 10^6 \approx 7{,}34 \cdot 10^6 \text{ N/C}

El módulo del campo eléctrico en el punto medio es E≈7,34⋅106 N/CE \approx 7{,}34 \cdot 10^6 \text{ N/C}, dirigido desde q1q_1 hacia q2q_2.