T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

D1-b

Un coche de $2000 \text{ kg}$ de masa y un átomo de helio ( $\ce{^4_2He}$ ) se mueven a $20 \text{ m/s}$ .

b) i) Calcule la longitud de onda de De Broglie del coche y del átomo de helio. ii) Si un instrumento de laboratorio sólo puede medir longitudes de onda mayores a

5 \cdot 10^{-11} \text{ m}

, comente razonadamente si es posible medir la longitud de la onda de De Broglie del coche y del átomo de helio.

Datos: $m(\ce{^4_2He}) = 4,002603 \text{ u}; 1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}$

longitud de onda de De Broglielímites de detección

b) i) Calcule la longitud de onda de De Broglie del coche y del átomo de helio.

La longitud de onda de De Broglie, $\lambda$ , para una partícula con momento lineal $p$ se calcula mediante la relación:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

donde $h$ es la constante de Planck, $m$ es la masa de la partícula y $v$ es su velocidad.Datos: $m_{\text{coche}} = 2000 \text{ kg}$ $v_{\text{coche}} = 20 \text{ m/s}$ $m_{\text{He}} = 4,002603 \text{ u}$ $1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$ $v_{\text{He}} = 20 \text{ m/s}$ $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}$ Primero, convertimos la masa del átomo de helio a kilogramos:

m_{\text{He}} = 4,002603 \text{ u} \cdot (1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u}) = 6,64432098 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Cálculo de la longitud de onda de De Broglie para el coche:

\lambda_{\text{coche}} = \frac{h}{m_{\text{coche}} \cdot v_{\text{coche}}} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}}{2000 \text{ kg} \cdot 20 \text{ m/s}}

\lambda_{\text{coche}} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{40000} \text{ m} = 1,6575 \cdot 10^{-38} \text{ m}

Cálculo de la longitud de onda de De Broglie para el átomo de helio:

\lambda_{\text{He}} = \frac{h}{m_{\text{He}} \cdot v_{\text{He}}} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}}{6,64432098 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 20 \text{ m/s}}

\lambda_{\text{He}} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{1,328864196 \cdot 10^{-25}} \text{ m} \approx 4,989 \cdot 10^{-9} \text{ m}

b) ii) Si un instrumento de laboratorio sólo puede medir longitudes de onda mayores a

5 \cdot 10^{-11} \text{ m}

, comente razonadamente si es posible medir la longitud de la onda de De Broglie del coche y del átomo de helio.

La longitud de onda mínima medible por el instrumento es $\lambda_{\text{min}} = 5 \cdot 10^{-11} \text{ m}$ .Para el coche, la longitud de onda de De Broglie calculada es $\lambda_{\text{coche}} = 1,6575 \cdot 10^{-38} \text{ m}$ .Comparando con la capacidad del instrumento:

1,6575 \cdot 10^{-38} \text{ m} \ll 5 \cdot 10^{-11} \text{ m}

Dado que $\lambda_{\text{coche}}$ es mucho menor que la longitud de onda mínima que puede medir el instrumento, no es posible medir la longitud de onda de De Broglie del coche con este instrumento. En general, las longitudes de onda de De Broglie para objetos macroscópicos son extremadamente pequeñas, lo que hace que los efectos cuánticos no sean observables a esa escala y, por tanto, no se puedan medir con instrumentos actuales.Para el átomo de helio, la longitud de onda de De Broglie calculada es $\lambda_{\text{He}} \approx 4,989 \cdot 10^{-9} \text{ m}$ .Comparando con la capacidad del instrumento:

4,989 \cdot 10^{-9} \text{ m} > 5 \cdot 10^{-11} \text{ m}

Dado que $\lambda_{\text{He}}$ es mayor que la longitud de onda mínima que puede medir el instrumento, sí sería posible medir la longitud de onda de De Broglie del átomo de helio con este instrumento. Esto es consistente con el hecho de que para partículas subatómicas o atómicas, los efectos de la dualidad onda-partícula son significativos y observables.