T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Intervalos de confianza

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

Se sabe que la vida útil en meses de una batería de coche sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza $8 \text{ meses}^2$ . Se seleccionan al azar 100 clientes que habían comprado una de estas baterías y se les pregunta cuando las reemplazaron, obteniéndose una media de 4 años y 2 meses.

a) Determine, con un nivel de confianza del

94\%

, un intervalo de confianza para estimar la vida media de estas baterías.b) Manteniendo el mismo nivel de confianza, determine el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para que el error cometido al estimar la vida media de estas baterías sea menor que

0.1

meses.

Intervalo de confianzaTamaño muestralDistribución Normal

Datos iniciales del problema:La vida útil en meses de una batería de coche sigue una distribución Normal de media $\mu$ desconocida y varianza $\sigma^2 = 8 \text{ meses}^2$ . Por lo tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{8} \text{ meses}$ .Se selecciona una muestra de tamaño $n = 100$ clientes.La media muestral obtenida es $\bar{x} = 4 \text{ años y } 2 \text{ meses}$ . Convertimos la media a meses: $\bar{x} = (4 \times 12) + 2 = 48 + 2 = 50 \text{ meses}$ .

a) Determine, con un nivel de confianza del

94\%

, un intervalo de confianza para estimar la vida media de estas baterías.

El nivel de confianza es del $94\%$ , lo que significa que $1 - \alpha = 0.94$ . Por lo tanto, $\alpha = 1 - 0.94 = 0.06$ y $\alpha/2 = 0.03$ .Necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.03 = 0.97$ . Consultando la tabla de la distribución Normal estándar o usando una calculadora, obtenemos:

z_{0.03} \approx 1.88

El intervalo de confianza para la media $\mu$ cuando la desviación típica poblacional $\sigma$ es conocida se calcula mediante la fórmula:

IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Sustituyendo los valores conocidos:

IC = 50 \pm 1.88 \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{100}}

IC = 50 \pm 1.88 \frac{2\sqrt{2}}{10}

IC = 50 \pm 1.88 \times \frac{2.8284}{10}

IC = 50 \pm 1.88 \times 0.28284

IC = 50 \pm 0.5317

Calculamos los límites del intervalo:

Límite inferior = 50 - 0.5317 = 49.4683 \approx 49.47

Límite superior = 50 + 0.5317 = 50.5317 \approx 50.53

El intervalo de confianza del $94\%$ para la vida media de las baterías es $[49.47, 50.53]$ meses.

b) Manteniendo el mismo nivel de confianza, determine el tamaño muestral mínimo que debe tomarse para que el error cometido al estimar la vida media de estas baterías sea menor que

0.1

meses.

El error máximo permitido ( $E$ ) es de $0.1$ meses. La fórmula para el error máximo es:

E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Queremos que $E < 0.1$ . Despejamos $n$ de la fórmula del error:

\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E}

n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \sigma}{E} \right)^2

Utilizamos el mismo valor de $z_{\alpha/2} = 1.88$ y $\sigma = \sqrt{8}$ :

n = \left( \frac{1.88 \times \sqrt{8}}{0.1} \right)^2

n = \left( \frac{1.88 \times 2.8284}{0.1} \right)^2

n = \left( \frac{5.317392}{0.1} \right)^2

n = (53.17392)^2

n \approx 2827.47

Dado que el tamaño muestral debe ser un número entero y se requiere que el error sea menor que $0.1$ , debemos redondear al siguiente número entero superior. Por lo tanto, el tamaño muestral mínimo es:

n = 2828