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T4: Funciones
Continuidad
Problema
2023 · Extraordinaria · Reserva
4
Examen

La temperatura en el interior de un equipo de refrigeración durante un día que sufrió un corte de energía viene dada por la función ff expresada en grados centígrados y el tiempo tt en horas:

f(t)={−90≤t≤1−t2+12t−201<t<11−911≤t≤24f(t) = \begin{cases} -9 & 0 \leq t \leq 1 \\ -t^2 + 12t - 20 & 1 < t < 11 \\ -9 & 11 \leq t \leq 24 \end{cases}
a) Estudie la continuidad de ff.b) Represente gráficamente la función ff.c) Conteste razonadamente a qué hora se produjo el corte de energía y cuánto duró dicho corte.d) El equipo de refrigeración se utiliza para conservar sueros y vacunas. Los sueros se estropean si se alcanzan temperaturas de 20∘C20^\circ\text{C} en algún momento. Las vacunas se estropean si están por encima de 0∘C0^\circ\text{C} durante más de seis horas. Razone si alguno de esos productos se estropeó ese día.
Funciones a trozosContinuidadInterpretación de funciones
a) Estudie la continuidad de ff.

La función f(t)f(t) está definida por funciones polinómicas, que son continuas en sus respectivos intervalos abiertos. Por lo tanto, solo necesitamos analizar la continuidad en los puntos de unión t=1t=1 y t=11t=11.Para t=1t=1:

f(1)=−9f(1) = -9
lim⁡t→1−f(t)=lim⁡t→1−(−9)=−9\lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^-} (-9) = -9
lim⁡t→1+f(t)=lim⁡t→1+(−t2+12t−20)=−(1)2+12(1)−20=−1+12−20=−9\lim_{t \to 1^+} f(t) = \lim_{t \to 1^+} (-t^2 + 12t - 20) = -(1)^2 + 12(1) - 20 = -1 + 12 - 20 = -9

Como f(1)=lim⁡t→1−f(t)=lim⁡t→1+f(t)=−9f(1) = \lim_{t \to 1^-} f(t) = \lim_{t \to 1^+} f(t) = -9, la función es continua en t=1t=1.Para t=11t=11:

f(11)=−9f(11) = -9
lim⁡t→11−f(t)=lim⁡t→11−(−t2+12t−20)=−(11)2+12(11)−20=−121+132−20=−9\lim_{t \to 11^-} f(t) = \lim_{t \to 11^-} (-t^2 + 12t - 20) = -(11)^2 + 12(11) - 20 = -121 + 132 - 20 = -9
lim⁡t→11+f(t)=lim⁡t→11+(−9)=−9\lim_{t \to 11^+} f(t) = \lim_{t \to 11^+} (-9) = -9

Como f(11)=lim⁡t→11−f(t)=lim⁡t→11+f(t)=−9f(11) = \lim_{t \to 11^-} f(t) = \lim_{t \to 11^+} f(t) = -9, la función es continua en t=11t=11.Dado que la función es continua en los puntos de unión y en sus intervalos definitorios, la función f(t)f(t) es continua en todo su dominio [0,24][0, 24].

b) Represente gráficamente la función ff.

La gráfica de la función f(t)f(t) se describe de la siguiente manera:1. Para 0≤t≤10 \leq t \leq 1: f(t)=−9f(t) = -9. Es un segmento de recta horizontal en y=−9y=-9, desde t=0t=0 hasta t=1t=1. Los puntos extremos son (0,−9)(0, -9) y (1,−9)(1, -9).2. Para 1<t<111 < t < 11: f(t)=−t2+12t−20f(t) = -t^2 + 12t - 20. Es una parábola con vértice hacia abajo. Calculamos el vértice y algunos puntos:

tv=−b2a=−122(−1)=6t_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2(-1)} = 6
f(6)=−(6)2+12(6)−20=−36+72−20=16f(6) = -(6)^2 + 12(6) - 20 = -36 + 72 - 20 = 16

El vértice es (6,16)(6, 16), que es el máximo de este tramo. Los puntos en los extremos del intervalo son f(1)=−9f(1) = -9 y f(11)=−9f(11) = -9. La gráfica de este tramo es una parábola que sube desde (1,−9)(1, -9) hasta (6,16)(6, 16) y luego baja hasta (11,−9)(11, -9).3. Para 11≤t≤2411 \leq t \leq 24: f(t)=−9f(t) = -9. Es un segmento de recta horizontal en y=−9y=-9, desde t=11t=11 hasta t=24t=24. Los puntos extremos son (11,−9)(11, -9) y (24,−9)(24, -9).La gráfica completa es una línea horizontal a −9∘C-9^\circ\text{C}, que a partir de t=1t=1 sube parabolicamente hasta un máximo de 16∘C16^\circ\text{C} a t=6t=6, y luego baja de nuevo a −9∘C-9^\circ\text{C} a t=11t=11, para finalmente mantenerse constante a −9∘C-9^\circ\text{C} hasta t=24t=24.

c) Conteste razonadamente a qué hora se produjo el corte de energía y cuánto duró dicho corte.

El equipo de refrigeración mantiene una temperatura constante de −9∘C-9^\circ\text{C} en funcionamiento normal. El corte de energía se produjo en el momento en que la temperatura comenzó a desviarse de su valor normal, que es a t=1t=1 hora.La temperatura regresó a su valor normal de −9∘C-9^\circ\text{C} a t=11t=11 horas.Por lo tanto, el corte de energía se produjo a la 11ª hora y duró 11−1=1011 - 1 = 10 horas.

d) El equipo de refrigeración se utiliza para conservar sueros y vacunas. Los sueros se estropean si se alcanzan temperaturas de 20∘C20^\circ\text{C} en algún momento. Las vacunas se estropean si están por encima de 0∘C0^\circ\text{C} durante más de seis horas. Razone si alguno de esos productos se estropeó ese día.

Para los sueros:La temperatura máxima alcanzada por el equipo durante el corte fue el vértice de la parábola f(t)=−t2+12t−20f(t) = -t^2 + 12t - 20, que calculamos en el apartado b) como f(6)=16∘Cf(6) = 16^\circ\text{C}.Dado que la temperatura máxima alcanzada fue de 16∘C16^\circ\text{C}, y los sueros se estropean a 20∘C20^\circ\text{C}, los sueros no se estropearon ese día (16∘C<20∘C16^\circ\text{C} < 20^\circ\text{C}). Para las vacunas:Necesitamos encontrar el intervalo de tiempo en el que la temperatura estuvo por encima de 0∘C0^\circ\text{C}. Esto ocurre cuando f(t)>0f(t) > 0. Consideramos la parte parabólica de la función, −t2+12t−20>0-t^2 + 12t - 20 > 0. Primero, encontramos las raíces de la ecuación −t2+12t−20=0-t^2 + 12t - 20 = 0:

t=−12±122−4(−1)(−20)2(−1)=−12±144−80−2=−12±64−2=−12±8−2t = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(-1)(-20)}}{2(-1)} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 80}}{-2} = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{-2} = \frac{-12 \pm 8}{-2}
t1=−12+8−2=−4−2=2t_1 = \frac{-12 + 8}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2
t2=−12−8−2=−20−2=10t_2 = \frac{-12 - 8}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10

Como la parábola abre hacia abajo, f(t)>0f(t) > 0 cuando 2<t<102 < t < 10. Esto significa que la temperatura estuvo por encima de 0∘C0^\circ\text{C} desde las 2 horas hasta las 10 horas.La duración de este período es 10−2=810 - 2 = 8 horas.Dado que las vacunas se estropean si están por encima de 0∘C0^\circ\text{C} durante más de seis horas, y la temperatura estuvo por encima de 0∘C0^\circ\text{C} durante 8 horas, las vacunas sí se estropearon ese día (8 h>6 h8 \text{ h} > 6 \text{ h}).