T5: Probabilidad · Cálculo de probabilidades de sucesos — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Cálculo de probabilidades de sucesos

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

BLOQUE C

A 120 estudiantes se les ha recomendado la lectura de dos libros. Se sabe que 46 de ellos han leído el primer libro recomendado, 34 el segundo y 16 estudiantes han leído ambos libros. Se elige un estudiante al azar.

a) Calcule la probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros.b) Calcule la probabilidad de que no haya leído ninguno de los dos libros.c) Calcule la probabilidad de que solamente haya leído el primer libro.d) Calcule la probabilidad de que haya leído el primer libro, si se sabe que no ha leído el segundo.

Probabilidad de uniónProbabilidad condicionadaLeyes de De Morgan

Resolución del problema de probabilidad

Definimos los sucesos asociados al experimento aleatorio de elegir un estudiante de un total de $N = 120$ : $A$ : El estudiante ha leído el primer libro. $B$ : El estudiante ha leído el segundo libro.A partir de los datos del enunciado, establecemos las siguientes probabilidades:

P(A) = \frac{46}{120} = \frac{23}{60}

P(B) = \frac{34}{120} = \frac{17}{60}

P(A \cap B) = \frac{16}{120} = \frac{2}{15}

a) Calcule la probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros.

La probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros es la probabilidad de la unión de los sucesos, $P(A \cup B)$ , que se calcula mediante la fórmula:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(A \cup B) = \frac{46}{120} + \frac{34}{120} - \frac{16}{120} = \frac{64}{120} = \frac{8}{15} \approx 0,5333

b) Calcule la probabilidad de que no haya leído ninguno de los dos libros.

Este suceso es el complementario de haber leído al menos uno de los libros. Por las leyes de De Morgan, la probabilidad de no haber leído ninguno es $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B})$ :

P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15} \approx 0,4667

c) Calcule la probabilidad de que solamente haya leído el primer libro.

La probabilidad de haber leído solo el primer libro es la probabilidad de haber leído el primero menos la probabilidad de haber leído ambos, lo que se expresa como $P(A \cap \overline{B})$ :

P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{46}{120} - \frac{16}{120} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 0,25

d) Calcule la probabilidad de que haya leído el primer libro, si se sabe que no ha leído el segundo.

Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar la probabilidad de $A$ dado que ha ocurrido el suceso complementario de $B$ (no haber leído el segundo libro):

P(A | \overline{B}) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}

Primero calculamos la probabilidad del suceso condicionante $P(\overline{B})$ :

P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{34}{120} = \frac{86}{120} = \frac{43}{60}

Ahora sustituimos los valores conocidos en la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(A | \overline{B}) = \frac{30/120}{86/120} = \frac{30}{86} = \frac{15}{43} \approx 0,3488