T4: Funciones · Aplicaciones de la derivada e integración — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Aplicaciones de la derivada e integración

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 4

La cotización en bolsa de una empresa en un determinado día viene expresada, en euros, por la función $c(t)$ , con $t \in [0, 24]$ , medido en horas. La variación instantánea de esta función es la derivada de $c$ , que viene dada por:

c'(t) = 0.03t^2 - 0.9t + 6, \quad t \in (0, 24)

a) Estudie los intervalos en los que la función

c

es creciente.b) Analice los puntos críticos de la función

c

, indicando en cuáles se alcanza el máximo y el mínimo relativos.c) Halle la expresión analítica de la función

c

, sabiendo que la cotización en bolsa de la empresa era de 50 euros en el instante inicial.

OptimizaciónDerivadaPrimitiva

a) Para estudiar los intervalos en los que la función

c(t)

es creciente, necesitamos determinar dónde su derivada

c'(t)

es positiva. La función derivada es:

c'(t) = 0.03t^2 - 0.9t + 6

Primero, encontramos las raíces de $c'(t) = 0$ :

0.03t^2 - 0.9t + 6 = 0

Multiplicamos por 100 para eliminar los decimales:

3t^2 - 90t + 600 = 0

Dividimos por 3:

t^2 - 30t + 200 = 0

Aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas ( $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ):

t = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(1)(200)}}{2(1)}

t = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 800}}{2}

t = \frac{30 \pm \sqrt{100}}{2}

t = \frac{30 \pm 10}{2}

Las raíces son:

t_1 = \frac{30 - 10}{2} = \frac{20}{2} = 10

t_2 = \frac{30 + 10}{2} = \frac{40}{2} = 20

Estas raíces dividen el dominio $t \in [0, 24]$ en los intervalos $(0, 10)$ , $(10, 20)$ y $(20, 24)$ . Analizamos el signo de $c'(t)$ en cada intervalo. Como $c'(t)$ es una parábola que se abre hacia arriba (el coeficiente de $t^2$ es $0.03 > 0$ ), su signo será positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas.- Para $t \in (0, 10)$ , tomamos $t=5$ : $c'(5) = 0.03(5)^2 - 0.9(5) + 6 = 0.75 - 4.5 + 6 = 2.25 > 0$ . Por lo tanto, $c(t)$ es creciente.- Para $t \in (10, 20)$ , tomamos $t=15$ : $c'(15) = 0.03(15)^2 - 0.9(15) + 6 = 6.75 - 13.5 + 6 = -0.75 < 0$ . Por lo tanto, $c(t)$ es decreciente.- Para $t \in (20, 24)$ , tomamos $t=22$ : $c'(22) = 0.03(22)^2 - 0.9(22) + 6 = 14.52 - 19.8 + 6 = 0.72 > 0$ . Por lo tanto, $c(t)$ es creciente.La función $c(t)$ es creciente en los intervalos $[0, 10]$ y $[20, 24]$ .

b) Los puntos críticos de la función

c(t)

son aquellos donde

c'(t) = 0

. Hemos encontrado que estos puntos son

t=10

t=20

. Utilizamos el criterio de la primera derivada para clasificarlos:

- En $t=10$ : La derivada $c'(t)$ cambia de signo de positivo a negativo. Esto indica que en $t=10$ se alcanza un máximo relativo.- En $t=20$ : La derivada $c'(t)$ cambia de signo de negativo a positivo. Esto indica que en $t=20$ se alcanza un mínimo relativo.

c) Para hallar la expresión analítica de la función

c(t)

, debemos integrar

c'(t)

c(t) = \int (0.03t^2 - 0.9t + 6) \, dt

c(t) = 0.03 \frac{t^3}{3} - 0.9 \frac{t^2}{2} + 6t + K

c(t) = 0.01t^3 - 0.45t^2 + 6t + K

Sabemos que la cotización en el instante inicial ( $t=0$ ) era de 50 euros, es decir, $c(0) = 50$ . Sustituimos estos valores para encontrar la constante $K$ :

c(0) = 0.01(0)^3 - 0.45(0)^2 + 6(0) + K = 50

K = 50

Por lo tanto, la expresión analítica de la función $c(t)$ es:

c(t) = 0.01t^3 - 0.45t^2 + 6t + 50