Una familia desea acotar una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla al cultivo ecológico. Para ello dispone de 96 metros de valla, pero necesita dejar una abertura de 4 metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor de dicha área.
Sean e las dimensiones (largo y ancho) de la zona rectangular a acotar.La longitud total de valla disponible es de 96 metros. Se debe dejar una abertura de 4 metros en uno de los laterales. Supongamos que la abertura está en un lateral de longitud . Por lo tanto, la longitud de valla necesaria es la suma de los cuatro lados menos la abertura de 4 metros.
Simplificando la ecuación, obtenemos la ecuación de la restricción:
De esta ecuación, podemos expresar en función de :
El área de la zona rectangular viene dada por la fórmula . Sustituimos por su expresión en función de para obtener la función del área que queremos maximizar:
Para encontrar las dimensiones que maximizan el área, debemos calcular la primera derivada de e igualarla a cero:
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
Ahora, calculamos el valor de utilizando la ecuación de la restricción :
Para verificar que estas dimensiones corresponden a un máximo, calculamos la segunda derivada de :
Dado que , el punto crítico corresponde a un máximo. Por lo tanto, las dimensiones que maximizan el área son metros e metros.Finalmente, calculamos el valor del área máxima: