T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Ecuaciones matriciales

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

Considera las matrices:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}

a) Determina los valores de

a

para los que la matriz

B

no tiene inversa.b) Para

a = 1

calcula

X

tal que

A X B = C

, si es posible.

Inversa de una matrizEcuación matricialParámetros

a) Para que la matriz

B

no tenga inversa, su determinante debe ser cero. Calculamos el determinante de

B

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}

\det(B) = 1 \cdot (a \cdot 0 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (2 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + a \cdot (2 \cdot 2 - a \cdot 2)

\det(B) = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-2) + a \cdot (4 - 2a)

\det(B) = -2 + 2 + 4a - 2a^2

\det(B) = 4a - 2a^2

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ :

4a - 2a^2 = 0

2a(2 - a) = 0

Esto nos da dos posibles valores para $a$ :

2a = 0 \implies a = 0

2 - a = 0 \implies a = 2

Por lo tanto, la matriz $B$ no tiene inversa cuando $a = 0$ o $a = 2$ .

b) Para

a = 1

, la ecuación es

A X B = C

. Para despejar

X

, necesitamos que

A

B

sean invertibles.

Para $a=1$ , el determinante de $B$ es:

\det(B) = 4(1) - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2 \neq 0

Así que $B$ es invertible. Ahora, comprobamos $A$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}

\det(A) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-2) = 1 \neq 0

Como $\det(A) \neq 0$ , $A$ también es invertible. Podemos despejar $X$ multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha:

A X B = C \implies A^{-1} (A X B) B^{-1} = A^{-1} C B^{-1} \implies X = A^{-1} C B^{-1}

Primero, calculamos $A^{-1}$ :

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)^T = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos $B^{-1}$ para $a=1$ :

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Los cofactores de $B$ son:

C_{11} = -2$, $C_{12} = 2$, $C_{13} = 2

C_{21} = 2$, $C_{22} = -2$, $C_{23} = 0

C_{31} = 0$, $C_{32} = 1$, $C_{33} = -1

La matriz adjunta de $B$ es:

\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Entonces $B^{-1}$ es:

B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{Adj}(B) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1/2 \\ 1 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}

Ahora calculamos $A^{-1} C$ :

A^{-1} C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & 1 \cdot (-2) + 0 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix}

A^{-1} C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & -5 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = (A^{-1} C) B^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1/2 \\ 1 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 1(-1)+0(1)+(-2)(1) & 1(1)+0(-1)+(-2)(0) & 1(0)+0(1/2)+(-2)(-1/2) \\ 4(-1)+(-1)(1)+(-5)(1) & 4(1)+(-1)(-1)+(-5)(0) & 4(0)+(-1)(1/2)+(-5)(-1/2) \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -1+0-2 & 1+0+0 & 0+0+1 \\ -4-1-5 & 4+1+0 & 0-1/2+5/2 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ -10 & 5 & 2 \end{pmatrix}