T1: Interacción gravitatoria

Órbitas

Problema

2017 · Extraordinaria · Titular

1B-b

b) El satélite español PAZ es un satélite radar del Programa Nacional de Observación de la Tierra que podrá tomar imágenes diurnas y nocturnas bajo cualquier condición meteorológica. Se ha diseñado para que tenga una masa de

1400 \text{ kg}

y describa una órbita circular con una velocidad de

7611,9 \text{ m s}^{-1}

. Calcule, razonadamente, cuál será la energía potencial gravitatoria de dicho satélite cuando esté en órbita.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^{2} \text{ kg}^{-2}$ ; $M_{T} = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_{T} = 6,37 \cdot 10^{6} \text{ m}$

SatéliteÓrbita circularEnergía potencial

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. Igualamos ambas expresiones para obtener el radio orbital:

\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \implies r = \frac{G M_T}{v^2}

Sustituyendo los valores:

r = \frac{(6{,}67 \cdot 10^{-11})(5{,}97 \cdot 10^{24})}{(7611{,}9)^2} = \frac{3{,}982 \cdot 10^{14}}{5{,}794 \cdot 10^7} \approx 6{,}87 \cdot 10^6 \text{ m}

La altitud sobre la superficie terrestre es:

h = r - R_T = 6{,}87 \cdot 10^6 - 6{,}37 \cdot 10^6 = 5{,}0 \cdot 10^5 \text{ m} = 500 \text{ km}

La energía potencial gravitatoria del satélite a distancia $r$ del centro de la Tierra es:

E_p = -\frac{G M_T m}{r}

Sustituyendo los valores numéricos:

E_p = -\frac{(6{,}67 \cdot 10^{-11})(5{,}97 \cdot 10^{24})(1400)}{6{,}87 \cdot 10^6}

E_p = -\frac{3{,}982 \cdot 10^{14} \times 1400}{6{,}87 \cdot 10^6} = -\frac{5{,}575 \cdot 10^{17}}{6{,}87 \cdot 10^6}

\boxed{E_p \approx -8{,}11 \cdot 10^{10} \text{ J}}

El valor negativo es coherente con el hecho de que el sistema satélite-Tierra está ligado gravitacionalmente: la energía potencial gravitatoria se toma nula en el infinito y es negativa a distancias finitas, lo que indica que habría que aportar energía para separar el satélite del campo gravitatorio terrestre.