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T1: Interacción gravitatoria
Energía gravitatoria
Problema
2016 · Ordinaria · Reserva
3A-b
Examen

El satélite español PAZ de observación de la Tierra, de 1400 kg1400 \text{ kg}, se lanza con el propósito de situarlo en una órbita circular geoestacionaria.

b) Determine las energías cinética y potencial del satélite en órbita.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2;MT=6⋅1024 kg;RT=6370 kmG = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} ; M_T = 6 \cdot 10^{24} \text{ kg} ; R_T = 6370 \text{ km}

Energía cinéticaEnergía potencial
Satélite PAZ en órbita geoestacionaria
TierraPAZ (1400 kg)Fgv
b) Energías cinética y potencial del satélite en órbita geoestacionaria

Para una órbita geoestacionaria, el radio orbital es r=42300 km=4,23⋅107 mr = 42300 \text{ km} = 4,23 \cdot 10^7 \text{ m} (resultado estándar obtenido igualando la fuerza gravitatoria con la fuerza centrípeta para un período T=24 hT = 24 \text{ h}).

Energía cinética

En una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:

GMTmr2=mv2r  ⟹  mv2=GMTmr\frac{GM_T m}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \implies mv^2 = \frac{GM_T m}{r}

Por tanto, la energía cinética es:

Ek=12mv2=GMTm2rE_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GM_T m}{2r}

Sustituyendo los valores:

Ek=6,67⋅10−11×6⋅1024×14002×4,23⋅107E_k = \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 6 \cdot 10^{24} \times 1400}{2 \times 4{,}23 \cdot 10^7}
Ek=6,67⋅6⋅1400×10−11+248,46⋅107=5,603⋅10178,46⋅107E_k = \frac{6{,}67 \cdot 6 \cdot 1400 \times 10^{-11+24}}{8{,}46 \cdot 10^7} = \frac{5{,}603 \cdot 10^{17}}{8{,}46 \cdot 10^7}
Ek≈6,62⋅109 JE_k \approx 6{,}62 \cdot 10^9 \text{ J}
Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria del satélite a distancia rr del centro de la Tierra es:

Ep=−GMTmrE_p = -\frac{GM_T m}{r}

Sustituyendo valores:

Ep=−6,67⋅10−11×6⋅1024×14004,23⋅107E_p = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 6 \cdot 10^{24} \times 1400}{4{,}23 \cdot 10^7}
Ep=−5,603⋅10174,23⋅107E_p = -\frac{5{,}603 \cdot 10^{17}}{4{,}23 \cdot 10^7}
Ep≈−1,325⋅1010 JE_p \approx -1{,}325 \cdot 10^{10} \text{ J}

Nótese que, tal como predice el teorema del virial para la gravitación, se verifica que Ep=−2EkE_p = -2E_k, con lo que la energía mecánica total es E=Ek+Ep=−Ek≈−6,62⋅109 JE = E_k + E_p = -E_k \approx -6{,}62 \cdot 10^9 \text{ J}.

Resultados
Energía cinética: Ek≈6,62⋅109 JE_k \approx 6{,}62 \cdot 10^9 \text{ J}Energía potencial: Ep≈−1,32⋅1010 JE_p \approx -1{,}32 \cdot 10^{10} \text{ J}