T5: Integrales · Integral definida — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2021

Integral definida

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

Calcula

\int_0^{\pi/2} (2 \operatorname{sen}^2(x) - \cos^2(x)) \, dx

Integrales definidasTrigonometría

Para resolver la integral, primero simplificaremos la expresión dentro de la integral utilizando identidades trigonométricas. Usaremos las identidades de reducción de potencia para el seno y el coseno:

\operatorname{sen}^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

Sustituimos estas identidades en la expresión original:

2 \operatorname{sen}^2(x) - \cos^2(x) = 2 \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) - \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)

= (1 - \cos(2x)) - \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)

= \frac{2(1 - \cos(2x)) - (1 + \cos(2x))}{2}

= \frac{2 - 2\cos(2x) - 1 - \cos(2x)}{2}

= \frac{1 - 3\cos(2x)}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(2x)

Ahora, integramos la expresión simplificada:

\int \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos(2x)\right) dx

= \int \frac{1}{2} dx - \int \frac{3}{2}\cos(2x) dx

= \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \left(\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\right) + C

= \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}\operatorname{sen}(2x) + C

Finalmente, evaluamos la integral definida en los límites de integración de $0$ a $\pi/2$ :

\left[\frac{1}{2}x - \frac{3}{4}\operatorname{sen}(2x)\right]_0^{\pi/2}

= \left(\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{3}{4}\operatorname{sen}\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{2}(0) - \frac{3}{4}\operatorname{sen}(2 \cdot 0)\right)

= \left(\frac{\pi}{4} - \frac{3}{4}\operatorname{sen}(\pi)\right) - \left(0 - \frac{3}{4}\operatorname{sen}(0)\right)

Sabemos que $\operatorname{sen}(\pi) = 0$ y $\operatorname{sen}(0) = 0$ . Sustituyendo estos valores:

= \left(\frac{\pi}{4} - \frac{3}{4}(0)\right) - \left(0 - \frac{3}{4}(0)\right)

= \frac{\pi}{4} - 0 - 0 + 0

= \frac{\pi}{4}

Por lo tanto, el valor de la integral es:

\int_0^{\pi/2} (2 \operatorname{sen}^2(x) - \cos^2(x)) \, dx = \frac{\pi}{4}