T1: Interacción gravitatoria

Velocidad de escape

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

A.2-a

El planeta $A$ tiene dos veces más masa que el planeta $B$ y radio cuatro veces menor. Determine la relación entre las velocidades de escape desde las superficies de ambos planetas.

velocidad de escaperelación de masa y radio

La velocidad de escape desde la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ se define como la velocidad mínima que debe tener un objeto para escapar de la atracción gravitatoria del planeta y alejarse hasta el infinito. Su expresión viene dada por:

v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

donde $G$ es la constante de gravitación universal.

a) Relación entre las velocidades de escape de los planetas A y B.

Se nos proporcionan las siguientes relaciones entre las masas y los radios de los planetas A y B:

M_A = 2M_B

R_A = \frac{1}{4}R_B \Rightarrow R_B = 4R_A

La velocidad de escape para el planeta A es:

v_{eA} = \sqrt{\frac{2GM_A}{R_A}}

Y para el planeta B es:

v_{eB} = \sqrt{\frac{2GM_B}{R_B}}

Para determinar la relación entre las velocidades de escape, dividimos la expresión de $v_{eA}$ por la de $v_{eB}$ :

\frac{v_{eA}}{v_{eB}} = \frac{\sqrt{\frac{2GM_A}{R_A}}}{\sqrt{\frac{2GM_B}{R_B}}} = \sqrt{\frac{2GM_A}{R_A} \cdot \frac{R_B}{2GM_B}} = \sqrt{\frac{M_A}{R_A} \cdot \frac{R_B}{M_B}}

Ahora sustituimos las relaciones dadas entre las masas y los radios:

\frac{v_{eA}}{v_{eB}} = \sqrt{\frac{2M_B}{R_A} \cdot \frac{4R_A}{M_B}}

Simplificando la expresión, se cancelan $M_B$ y $R_A$ :

\frac{v_{eA}}{v_{eB}} = \sqrt{2 \cdot 4} = \sqrt{8}

Por lo tanto, la relación entre las velocidades de escape es:

v_{eA} = \sqrt{8} \cdot v_{eB} = 2\sqrt{2} \cdot v_{eB}