T3: Vibraciones y ondas · Ondas estacionarias — FISICA PEvAU Andalucía 2016

T3: Vibraciones y ondas

Ondas estacionarias

Teoría

2016 · Extraordinaria · Suplente

2A-a

a) Explique qué es una onda estacionaria e indique cómo puede producirse. Describa sus características.

Onda estacionaria

a) Explicación de la onda estacionaria, su producción y características.

¿Qué es una onda estacionaria?

Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas de igual amplitud, igual frecuencia e igual longitud de onda que se propagan en sentidos opuestos por el mismo medio. A diferencia de las ondas viajeras, en una onda estacionaria no hay transporte neto de energía a lo largo del medio.

¿Cómo se produce?

La forma más habitual de producir una onda estacionaria es mediante la reflexión de una onda en un extremo fijo o libre de un medio:

1) Una onda incidente se propaga a lo largo de un medio (por ejemplo, una cuerda tensa).2) Al llegar a un extremo (fijo o libre), la onda se refleja y regresa en sentido contrario con la misma amplitud y frecuencia.3) La superposición de la onda incidente y la onda reflejada da lugar a la onda estacionaria, siempre que se cumplan las condiciones de resonancia del sistema.

La expresión matemática de cada onda es:

y_1 = A \sin(kx - \omega t) \quad \text{(onda incidente)}

y_2 = A \sin(kx + \omega t) \quad \text{(onda reflejada)}

Aplicando el principio de superposición y usando las identidades trigonométricas:

y = y_1 + y_2 = 2A \sin(kx)\cos(\omega t)

Esta expresión describe la onda estacionaria resultante: una amplitud que depende de la posición $x$ , modulada por una oscilación temporal $\cos(\omega t)$ .

Características de las ondas estacionarias

Nodos: Son los puntos del medio donde la amplitud de oscilación es siempre nula, es decir, los puntos que permanecen en reposo en todo momento. Se producen cuando

\sin(kx) = 0

, lo que ocurre para

x = n\dfrac{\lambda}{2}

, con

n = 0, 1, 2, \ldots

Vientres (o antinodos): Son los puntos donde la amplitud de oscilación es máxima (

2A

). Se producen cuando

|\sin(kx)| = 1

, lo que ocurre para

x = (2n+1)\dfrac{\lambda}{4}

, con

n = 0, 1, 2, \ldots

Separación entre nodos consecutivos: La distancia entre dos nodos consecutivos (o dos vientres consecutivos) es igual a

\dfrac{\lambda}{2}

d_{\text{nodos}} = \frac{\lambda}{2}

No hay transporte de energía: A diferencia de las ondas progresivas, la onda estacionaria no transporta energía neta a lo largo del medio, ya que la energía queda confinada entre los nodos.Fase de oscilación: Todos los puntos situados entre dos nodos consecutivos oscilan en fase (con la misma fase temporal), mientras que los puntos situados a ambos lados de un nodo oscilan en oposición de fase (

180^\circ

de diferencia).Condiciones de contorno (resonancia): Para que se forme una onda estacionaria estable en una cuerda de longitud

L

fija en ambos extremos, la longitud debe ser un múltiplo entero de la semilongitud de onda:

L = n \frac{\lambda}{2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots

Cada valor de $n$ corresponde a un modo de vibración o armónico: el fundamental ( $n=1$ ), el segundo armónico ( $n=2$ ), etc. La frecuencia de cada modo es:

f_n = n \frac{v}{2L}

donde $v$ es la velocidad de propagación de la onda en el medio y $L$ es la longitud de la cuerda.