T6: Teoría de muestras · Estimación de la media — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Estimación de la media

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

BLOQUE D

La resistencia media a la ruptura de una nueva gama de herramientas sigue una distribución Normal de desviación típica 15MPa (megapascales). Se seleccionan al azar 100 herramientas forjadas en la misma máquina durante el mismo proceso de producción, obteniéndose una resistencia media de 800MPa.

a) Realizando la estimación con un nivel de confianza del 92%, ¿entre qué valores se estima la resistencia media poblacional de esta gama de herramientas?b) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo en la estimación de la resistencia media a la ruptura sea menor que 2MPa?

Intervalo de confianzaDistribución NormalTamaño muestral

Datos iniciales:

\sigma = 15 \text{ MPa}

n = 100

\bar{x} = 800 \text{ MPa}

a) Realizando la estimación con un nivel de confianza del 92%, ¿entre qué valores se estima la resistencia media poblacional de esta gama de herramientas?

Para un nivel de confianza del 92%, el valor de $\alpha$ es $1 - 0.92 = 0.08$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.04$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que el área a la izquierda sea $1 - \alpha/2 = 1 - 0.04 = 0.96$ . Usando una tabla de la distribución normal estándar o una calculadora, encontramos:

z_{0.04} \approx 1.75

El margen de error ( $E$ ) se calcula como:

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

E = 1.75 \cdot \frac{15}{\sqrt{100}} = 1.75 \cdot \frac{15}{10} = 1.75 \cdot 1.5 = 2.625 \text{ MPa}

El intervalo de confianza para la media poblacional ( $\mu$ ) es:

\left( \bar{x} - E, \bar{x} + E \right)

\left( 800 - 2.625, 800 + 2.625 \right)

\left( 797.375, 802.625 \right) \text{ MPa}

La resistencia media poblacional se estima entre 797.375 MPa y 802.625 MPa con un nivel de confianza del 92%.

b) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo en la estimación de la resistencia media a la ruptura sea menor que 2MPa?

Mantenemos el mismo nivel de confianza del 92%, por lo que $z_{\alpha/2} = 1.75$ .El error máximo permitido ( $E$ ) es menor que 2 MPa, por lo que usaremos $E = 2$ para el cálculo del tamaño de la muestra.La fórmula para el tamaño de la muestra es:

n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2

n = \left( \frac{1.75 \cdot 15}{2} \right)^2

n = \left( \frac{26.25}{2} \right)^2

n = (13.125)^2 = 172.265625

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debemos garantizar que el error sea menor que 2 MPa, redondeamos al entero superior.

n = 173

El tamaño mínimo de una nueva muestra debe ser de 173 herramientas.