T1: Interacción gravitatoria

Energía mecánica

Teoría

2022 · Ordinaria · Suplente

A2-a

a) Dos bloques de masas

m

3m

se sueltan en la parte superior de un plano inclinado sin rozamiento. Justifique razonadamente la relación entre: i) las energías cinéticas y ii) las velocidades de ambos bloques cuando llegan a la parte inferior del plano inclinado.

Plano inclinadoEnergía cinéticaConservación de la energía

a) Para analizar la relación entre las energías cinéticas y las velocidades de los bloques, aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica, ya que el plano inclinado no tiene rozamiento.

Consideramos dos puntos: el punto inicial (parte superior del plano) y el punto final (parte inferior del plano). Sea $h$ la altura vertical del plano inclinado.

En el punto inicial, ambos bloques están en reposo, por lo que su energía cinética inicial es cero. Solo tienen energía potencial gravitatoria.

E_{mec,inicial} = E_{p,inicial} + E_{k,inicial} = mgh + 0 = mgh

En el punto final, la altura es cero, por lo que su energía potencial gravitatoria es cero. Solo tienen energía cinética.

E_{mec,final} = E_{p,final} + E_{k,final} = 0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv^2

Por el principio de conservación de la energía mecánica ( $E_{mec,inicial} = E_{mec,final}$ ):

mgh = \frac{1}{2}mv^2

i) Relación entre las energías cinéticas:

La energía cinética final de un bloque es igual a su energía potencial inicial (ya que el rozamiento es nulo y la energía se conserva). Por lo tanto:

E_{k,final} = mgh

Para el bloque de masa $m_1 = m$ :

E_{k1} = mgh

Para el bloque de masa $m_2 = 3m$ :

E_{k2} = (3m)gh = 3mgh

Comparando ambas energías cinéticas, obtenemos la relación:

\frac{E_{k2}}{E_{k1}} = \frac{3mgh}{mgh} = 3

Por lo tanto, la energía cinética del bloque de masa $3m$ es tres veces mayor que la energía cinética del bloque de masa $m$ cuando llegan a la parte inferior del plano.

ii) Relación entre las velocidades:

De la conservación de la energía mecánica, $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ . Podemos despejar la velocidad $v$ :

v^2 = \frac{2mgh}{m} = 2gh \implies v = \sqrt{2gh}

Observe que la masa $m$ se cancela en la expresión de la velocidad. Esto significa que la velocidad con la que un objeto llega al final de un plano inclinado sin rozamiento (o al suelo después de caer desde una altura $h$ ) no depende de su masa.Para el bloque de masa $m_1 = m$ :

v_1 = \sqrt{2gh}

Para el bloque de masa $m_2 = 3m$ :

v_2 = \sqrt{2gh}

Por lo tanto, la relación entre las velocidades es:

v_1 = v_2

Ambos bloques llegan a la parte inferior del plano inclinado con la misma velocidad.