T5: Probabilidad · Probabilidad total y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Probabilidad total y Bayes

Problema

2021 · Ordinaria · Suplente

Una determinada ciudad tiene en la plantilla del ayuntamiento $1000$ agentes de la policía local, $600$ bomberos y $400$ funcionarios de protección civil. En esta plantilla, el $42 \%$ de policías, el $20 \%$ de bomberos y el $50 \%$ de funcionarios de protección civil son mujeres. Se elige una persona al azar de la plantilla.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?b) Si la persona elegida es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea bombero?

Probabilidad condicionadaTeorema de Bayes

Denotemos los siguientes eventos:- $P$ : La persona elegida es de la policía local.- $B$ : La persona elegida es bombero.- $C$ : La persona elegida es funcionario de protección civil.- $M$ : La persona elegida es mujer.- $H$ : La persona elegida es hombre.Cálculo del número total de empleados y desglose por género y categoría:Número total de empleados: $1000 (\text{Policía}) + 600 (\text{Bomberos}) + 400 (\text{Protección Civil}) = 2000$ personas.Policía Local ( $1000$ personas):- Mujeres Policía: $42\%$ de $1000 = 0.42 \times 1000 = 420$ - Hombres Policía: $1000 - 420 = 580$ Bomberos ( $600$ personas):- Mujeres Bomberos: $20\%$ de $600 = 0.20 \times 600 = 120$ - Hombres Bomberos: $600 - 120 = 480$ Protección Civil ( $400$ personas):- Mujeres Protección Civil: $50\%$ de $400 = 0.50 \times 400 = 200$ - Hombres Protección Civil: $400 - 200 = 200$ Totales por género:- Total de Mujeres: $420 + 120 + 200 = 740$ - Total de Hombres: $580 + 480 + 200 = 1260$

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

La probabilidad de que la persona elegida al azar sea mujer se calcula dividiendo el número total de mujeres entre el número total de empleados.

P(M) = \frac{\text{Número total de mujeres}}{\text{Número total de empleados}}

P(M) = \frac{740}{2000}

P(M) = 0.37

También podemos usar la Ley de Probabilidad Total:

P(P) = \frac{1000}{2000} = 0.5

P(B) = \frac{600}{2000} = 0.3

P(C) = \frac{400}{2000} = 0.2

P(M) = P(M|P)P(P) + P(M|B)P(B) + P(M|C)P(C)

P(M) = (0.42)(0.5) + (0.20)(0.3) + (0.50)(0.2)

P(M) = 0.21 + 0.06 + 0.10

P(M) = 0.37

b) Si la persona elegida es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea bombero?

Se nos pide calcular la probabilidad condicional $P(B|H)$ , es decir, la probabilidad de que sea bombero dado que la persona elegida es hombre. Podemos usar el Teorema de Bayes:

P(B|H) = \frac{P(H|B)P(B)}{P(H)}

Necesitamos calcular $P(H)$ (probabilidad de que la persona elegida sea hombre).Sabemos que $P(M) = 0.37$ , por lo tanto, $P(H) = 1 - P(M)$ .

P(H) = 1 - 0.37 = 0.63

Alternativamente, usando el número total de hombres:

P(H) = \frac{1260}{2000} = 0.63

Ahora, calculamos $P(H|B)$ (probabilidad de que sea hombre dado que es bombero):

P(H|B) = 1 - P(M|B) = 1 - 0.20 = 0.80

O directamente por conteo:

P(H|B) = \frac{\text{Hombres Bomberos}}{\text{Total Bomberos}} = \frac{480}{600} = 0.80

Sustituimos los valores en la fórmula del Teorema de Bayes:

P(B|H) = \frac{P(H|B)P(B)}{P(H)} = \frac{(0.80)(0.3)}{0.63}

P(B|H) = \frac{0.24}{0.63}

P(B|H) = \frac{24}{63} = \frac{8}{21}

Como fracción decimal, aproximadamente:

P(B|H) \approx 0.381