T1: Interacción gravitatoria

Satélites

Teoría

2016 · Ordinaria · Titular

1B-b

b) Se coloca un satélite en órbita circular a una altura

h

sobre la Tierra. Deduzca las expresiones de su energía cinética mientras orbita y calcule la variación de energía potencial gravitatoria que ha sufrido respecto de la que tenía en la superficie terrestre.

Órbita circularEnergía cinéticaEnergía potencial

b) Deducción de la energía cinética del satélite en órbita circular a altura

h

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria. Igualando ambas expresiones:

F_{grav} = F_{centrípeta} \Rightarrow \frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv^2}{R+h}

Despejando $v^2$ :

v^2 = \frac{GM}{R+h}

La energía cinética del satélite en órbita es:

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \cdot \frac{GM}{R+h}

\boxed{E_c = \frac{GMm}{2(R+h)}}

donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M$ la masa de la Tierra, $m$ la masa del satélite y $R$ el radio terrestre.

Variación de energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria a una distancia $r$ del centro de la Tierra es:

E_p = -\frac{GMm}{r}

En la superficie terrestre ( $r = R$ ):

E_{p,sup} = -\frac{GMm}{R}

En órbita, a altura $h$ ( $r = R + h$ ):

E_{p,orb} = -\frac{GMm}{R+h}

La variación de energía potencial gravitatoria es:

\Delta E_p = E_{p,orb} - E_{p,sup} = -\frac{GMm}{R+h} - \left(-\frac{GMm}{R}\right)

\Delta E_p = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}\right) = GMm\cdot\frac{R+h - R}{R(R+h)}

\boxed{\Delta E_p = \frac{GMmh}{R(R+h)}}

Este resultado es positivo ( $\Delta E_p > 0$ ), lo que indica que la energía potencial gravitatoria aumenta al subir el satélite desde la superficie hasta la altura $h$ , tal y como cabría esperar, pues se aleja del centro de la Tierra y la energía potencial gravitatoria (negativa) se hace menos negativa.