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T2: Interacción electromagnética
Potencial y trabajo
Problema
2024 · Extraordinaria · Suplente
B2-b
Examen
b) Dos cargas puntuales de 2 μC2 \text{ } \mu \ce{C} y −2 μC-2 \text{ } \mu \ce{C} se encuentran situadas en los puntos A(0,3) mA(0,3) \text{ m} y B(0,−3) mB(0,-3) \text{ m}, respectivamente. i) Represente gráficamente y calcule la intensidad del campo eléctrico en el punto P(4,0) mP(4,0) \text{ m}. ii) Calcule el potencial en el origen de coordenadas y en el punto PP. iii) Determine el trabajo que realizan las fuerzas electrostáticas cuando un electrón se desplaza desde el origen de coordenadas hasta el punto PP.

Datos: e=1,6⋅10−19C;K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2e = 1,6 \cdot 10^{-19} \ce{C}; K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N} \cdot \text{m}^{2} \cdot \ce{C}^{-2}

campo eléctricopotencial eléctricotrabajo electrostático
i) Representación gráfica y cálculo de la intensidad del campo eléctrico en el punto P(4,0) mP(4,0) \text{ m}:
XY+q_1-q_2PE1E2E_neta

Determinamos las distancias desde cada carga al punto P(4,0)P(4,0). Por la geometría del problema, ambas cargas se encuentran a la misma distancia rr del punto:

r1=r2=(4−0)2+(0−3)2=16+9=5 mr_1 = r_2 = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \text{ m}

Calculamos los vectores unitarios desde las cargas hacia el punto PP para expresar el campo vectorialmente:

u⃗1=4i⃗−3j⃗5=0,8i⃗−0,6j⃗\vec{u}_1 = \frac{4\vec{i} - 3\vec{j}}{5} = 0,8\vec{i} - 0,6\vec{j}
u⃗2=4i⃗+3j⃗5=0,8i⃗+0,6j⃗\vec{u}_2 = \frac{4\vec{i} + 3\vec{j}}{5} = 0,8\vec{i} + 0,6\vec{j}

Aplicamos el principio de superposición para el campo eléctrico total E⃗P=E⃗1+E⃗2\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2:

E⃗1=Kq1r12u⃗1=9⋅1092⋅10−652(0,8i⃗−0,6j⃗)=576i⃗−432j⃗ N⋅C−1\vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_1^2} \vec{u}_1 = 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-6}}{5^2} (0,8\vec{i} - 0,6\vec{j}) = 576\vec{i} - 432\vec{j} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
E⃗2=Kq2r22u⃗2=9⋅109−2⋅10−652(0,8i⃗+0,6j⃗)=−576i⃗−432j⃗ N⋅C−1\vec{E}_2 = K \frac{q_2}{r_2^2} \vec{u}_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{-2 \cdot 10^{-6}}{5^2} (0,8\vec{i} + 0,6\vec{j}) = -576\vec{i} - 432\vec{j} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
E⃗P=(576−576)i⃗+(−432−432)j⃗=−864j⃗ N⋅C−1\vec{E}_P = (576 - 576)\vec{i} + (-432 - 432)\vec{j} = -864\vec{j} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
ii) Cálculo del potencial en el origen de coordenadas O(0,0)O(0,0) y en el punto P(4,0)P(4,0):

El potencial eléctrico es una magnitud escalar definida como V=∑KqiriV = \sum K \frac{q_i}{r_i}. Para el origen OO, las distancias son r1O=3 mr_{1O} = 3 \text{ m} y r2O=3 mr_{2O} = 3 \text{ m}:

VO=9⋅109(2⋅10−63+−2⋅10−63)=0 VV_O = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-6}}{3} + \frac{-2 \cdot 10^{-6}}{3} \right) = 0 \text{ V}

Para el punto P(4,0)P(4,0), las distancias calculadas anteriormente son r1=5 mr_1 = 5 \text{ m} y r2=5 mr_2 = 5 \text{ m}:

VP=9⋅109(2⋅10−65+−2⋅10−65)=0 VV_P = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{2 \cdot 10^{-6}}{5} + \frac{-2 \cdot 10^{-6}}{5} \right) = 0 \text{ V}
iii) Determinación del trabajo realizado por las fuerzas electrostáticas al desplazar un electrón desde el origen OO hasta PP:

El trabajo realizado por el campo eléctrico se define como el producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto inicial y el punto final: WO→P=−ΔEp=q(VO−VP)W_{O \to P} = - \Delta E_p = q(V_O - V_P).

WO→P=qe(VO−VP)=(−1,6⋅10−19 C)⋅(0 V−0 V)=0 JW_{O \to P} = q_e (V_O - V_P) = (-1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (0 \text{ V} - 0 \text{ V}) = 0 \text{ J}

Dado que ambos puntos se encuentran al mismo potencial (están en la misma superficie equipotencial de valor 0 V0 \text{ V}), el trabajo neto realizado por las fuerzas electrostáticas es nulo.