T5: Integrales · Cálculo de áreas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2023

Cálculo de áreas

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

Considera las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y $g : \mathbb{R} - \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = 5 - x^2$ y $g(x) = \frac{4}{x^2}$ .

a) Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.b) Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de

f

g

Área entre curvasGráficasPuntos de corte

Resolución del ejercicio

a) Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.

Para hallar los puntos de corte entre las funciones $f(x) = 5 - x^2$ y $g(x) = \frac{4}{x^2}$ , igualamos ambas expresiones:

5 - x^2 = \frac{4}{x^2}

Multiplicando por $x^2$ en ambos miembros y reorganizando los términos, obtenemos una ecuación bicuadrada:

5x^2 - x^4 = 4 \implies x^4 - 5x^2 + 4 = 0

Realizamos el cambio de variable $t = x^2$ :

t^2 - 5t + 4 = 0 \implies t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}

Las soluciones para $t$ son $t_1 = 4$ y $t_2 = 1$ . Deshaciendo el cambio $x = \pm \sqrt{t}$ :

x = \pm 1, \quad x = \pm 2

Los puntos de corte son $(-2, 1)$ , $(-1, 4)$ , $(1, 4)$ y $(2, 1)$ . Respecto al esbozo gráfico, $f(x)$ es una parábola cóncava con vértice en $(0, 5)$ , y $g(x)$ es una función racional par con asíntota vertical en $x=0$ y horizontal en $y=0$ .

b) Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de

f

g

Debido a la simetría de ambas funciones respecto al eje $Y$ (son funciones pares), el área total será el doble del área calculada en el primer cuadrante. El recinto queda limitado por los puntos de abscisa $x=1$ y $x=2$ . En este intervalo, $f(x) \ge g(x)$ .

A = 2 \int_{1}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = 2 \int_{1}^{2} \left( 5 - x^2 - \frac{4}{x^2} \right) dx

Calculamos la primitiva de la función:

\int \left( 5 - x^2 - 4x^{-2} \right) dx = 5x - \frac{x^3}{3} + \frac{4}{x}

Aplicamos la Regla de Barrow:

A = 2 \left[ 5x - \frac{x^3}{3} + \frac{4}{x} \right]_1^2 = 2 \left[ \left( 10 - \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( 5 - \frac{1}{3} + 4 \right) \right]

A = 2 \left( \left( 12 - \frac{8}{3} \right) - \left( 9 - \frac{1}{3} \right) \right) = 2 \left( \frac{28}{3} - \frac{26}{3} \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

Por tanto, el área total de los recintos es $\frac{4}{3} \text{ unidades de superficie}$ .