T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2020

Ondas armónicas

Problema

2020 · Extraordinaria · Titular

3-b

La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es: $y(x,t) = 5 \sin(50\pi t - 20\pi x) \text{ (S.I.)}$

b) Calcule: i) la velocidad de propagación de la onda, ii) la velocidad del punto

x = 0

de la cuerda en el instante

t = 1 \text{ s}

. iii) La diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos separados

1 \text{ m}

Ecuación de ondaVelocidad de propagaciónFase

La ecuación de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda es de la forma general $y(x,t) = A \sin(\omega t - kx)$ . Comparando con la ecuación dada $y(x,t) = 5 \sin(50\pi t - 20\pi x)$ (S.I.), identificamos los siguientes parámetros:

A = 5 \text{ m}

\omega = 50\pi \text{ rad/s}

k = 20\pi \text{ rad/m}

b) Calcule:i) la velocidad de propagación de la onda.

La velocidad de propagación de la onda $v$ se calcula como el cociente entre la frecuencia angular $\omega$ y el número de onda $k$ :

v = \frac{\omega}{k}

Sustituyendo los valores:

v = \frac{50\pi \text{ rad/s}}{20\pi \text{ rad/m}} = 2.5 \text{ m/s}

ii) la velocidad del punto

x = 0

de la cuerda en el instante

t = 1 \text{ s}

La velocidad transversal de un punto de la cuerda, $v_y(x,t)$ , se obtiene derivando la ecuación de la onda con respecto al tiempo $t$ :

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [5 \sin(50\pi t - 20\pi x)]

v_y(x,t) = 5 \cdot (50\pi) \cos(50\pi t - 20\pi x)

v_y(x,t) = 250\pi \cos(50\pi t - 20\pi x)

Ahora, sustituimos $x = 0 \text{ m}$ y $t = 1 \text{ s}$ :

v_y(0,1) = 250\pi \cos(50\pi \cdot 1 - 20\pi \cdot 0)

v_y(0,1) = 250\pi \cos(50\pi)

Dado que $\cos(n\pi) = 1$ para $n$ par (y $50$ es par):

v_y(0,1) = 250\pi \cdot 1 = 250\pi \text{ m/s}

v_y(0,1) \approx 250 \cdot 3.14159 \text{ m/s} \approx 785.4 \text{ m/s}

iii) La diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos separados

1 \text{ m}

La diferencia de fase $\Delta\phi$ entre dos puntos $x_1$ y $x_2$ en un mismo instante $t$ se calcula como:

\Delta\phi = \phi(x_2,t) - \phi(x_1,t) = (\omega t - kx_2) - (\omega t - kx_1)

\Delta\phi = -k(x_2 - x_1) = -k \Delta x

Donde $\Delta x$ es la separación entre los dos puntos, que es $1 \text{ m}$ . Sustituyendo el valor de $k$ :

\Delta\phi = -(20\pi \text{ rad/m}) \cdot (1 \text{ m})

\Delta\phi = -20\pi \text{ rad}

El signo negativo indica que el punto más alejado del origen tiene un retraso de fase respecto al punto más cercano.