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T3: Programación lineal
Optimización lineal
Problema
2020 · Ordinaria · Suplente
1
Examen

Con el fin de recaudar dinero para el viaje de fin de curso, los alumnos de un instituto van a poner a la venta dos tipos de bolsas de merienda. El primer tipo contendrá dos bocadillos, un refresco y una pieza de fruta y el segundo tipo tendrá un bocadillo, un refresco y dos piezas de fruta. Por cada bolsa del primer tipo cobrarán 6 euros y por las del segundo tipo 5 euros. Sabiendo que disponen de 120 bocadillos, 70 refrescos y 110 piezas de fruta y que se tiene garantizada la venta de todas las bolsas, ¿cuántas convendría preparar de cada tipo para que la cantidad de dinero obtenida por su venta sea máxima y a cuánto asciende la misma? ¿Es posible que vendan 40 bolsas de cada tipo? ¿Hay alguna posibilidad de que el importe de las ventas sea de 410 euros?

Programación linealOptimizaciónRestricciones
Planteamiento del problema

Definimos las variables de decisión para el problema de programación lineal:xx: Número de bolsas del primer tipo.yy: Número de bolsas del segundo tipo.La función objetivo que representa el dinero obtenido por la venta es:

f(x,y)=6x+5yf(x, y) = 6x + 5y
Restricciones

Basándonos en la disponibilidad de bocadillos, refrescos y fruta, establecemos el siguiente sistema de inecuaciones:

Bocadillos: 2x+y≤1202x + y \le 120Refrescos: x+y≤70x + y \le 70Fruta: x+2y≤110x + 2y \le 110No negatividad: x≥0,y≥0x \ge 0, y \ge 0
Resolución y búsqueda de vértices

Determinamos los puntos de corte de las rectas que limitan la región factible:

A(0,0)A(0, 0): Origen de coordenadas.B(60,0)B(60, 0): Intersección de 2x+y=1202x + y = 120 con el eje XX.C(50,20)C(50, 20): Intersección de 2x+y=1202x + y = 120 y x+y=70x + y = 70.D(30,40)D(30, 40): Intersección de x+y=70x + y = 70 y x+2y=110x + 2y = 110.E(0,55)E(0, 55): Intersección de x+2y=110x + 2y = 110 con el eje YY.
2x+y≤120x+y≤70x+2y≤110(0, 0)(60, 0)(50, 20)(30, 40)(0, 55)Máx: z = 4000204060204060xyz = 6x + 5y
Cálculo del máximo beneficio

Evaluamos la función objetivo f(x,y)=6x+5yf(x, y) = 6x + 5y en cada vértice:

f(0,0)=6(0)+5(0)=0f(0, 0) = 6(0) + 5(0) = 0 euros.f(60,0)=6(60)+5(0)=360f(60, 0) = 6(60) + 5(0) = 360 euros.f(50,20)=6(50)+5(20)=300+100=400f(50, 20) = 6(50) + 5(20) = 300 + 100 = 400 euros.f(30,40)=6(30)+5(40)=180+200=380f(30, 40) = 6(30) + 5(40) = 180 + 200 = 380 euros.f(0,55)=6(0)+5(55)=275f(0, 55) = 6(0) + 5(55) = 275 euros.

La cantidad máxima se obtiene preparando 50 bolsas del primer tipo y 20 bolsas del segundo tipo, ascendiendo a un total de 400 euros.

Análisis de posibilidades adicionales
¿Es posible vender 40 bolsas de cada tipo? Para el punto (40,40)(40, 40), comprobamos la restricción de los refrescos: 40+40=8040 + 40 = 80. Como 80>7080 > 70, no es posible vender esa cantidad ya que excede el número de refrescos disponibles.¿Puede el importe ser de 410 euros? No es posible, ya que el valor máximo de la función objetivo dentro de la región factible es de 400 euros, y cualquier valor superior es inalcanzable con los recursos actuales.