T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2019

Ondas armónicas

Problema

2019 · Extraordinaria · Titular

3A-b

b) La ecuación de una onda armónica que se propaga en una cuerda es:

y(x,t) = 0,04 \text{ sen } (8t - 5x + \pi/2) \text{ (SI)}

. Calcule la amplitud, frecuencia, longitud de onda, velocidad de propagación y velocidad máxima de un punto de dicha cuerda.

Ecuación de ondaCuerdaVelocidad de propagación

b) La ecuación general de una onda armónica transversal es

y(x,t) = A \text{ sen } (wt \pm kx + \phi_0)

, donde

A

es la amplitud,

w

la frecuencia angular,

k

el número de onda y

\phi_0

la fase inicial. Comparando con la ecuación dada

y(x,t) = 0,04 \text{ sen } (8t - 5x + \pi/2) \text{ (SI)}

, identificamos los siguientes valores:

Amplitud:

A = 0,04 \text{ m}

Frecuencia angular:

w = 8 \text{ rad/s}

Número de onda:

k = 5 \text{ rad/m}

A partir de estos valores, podemos calcular las magnitudes solicitadas:1. Amplitud $(A)$ :

A = 0,04 \text{ m}

2. Frecuencia $(f)$ :

w = 2\pi f \Rightarrow f = \frac{w}{2\pi}

f = \frac{8 \text{ rad/s}}{2\pi \text{ rad}} = \frac{4}{\pi} \text{ Hz} \approx 1,27 \text{ Hz}

3. Longitud de onda $(\lambda)$ :

k = \frac{2\pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{2\pi}{k}

\lambda = \frac{2\pi \text{ rad}}{5 \text{ rad/m}} = \frac{2\pi}{5} \text{ m} \approx 1,26 \text{ m}

4. Velocidad de propagación $(v)$ :

v = \frac{w}{k}

v = \frac{8 \text{ rad/s}}{5 \text{ rad/m}} = 1,6 \text{ m/s}

También se podría calcular como $v = \lambda f = \left(\frac{2\pi}{5} \text{ m}\right) \left(\frac{4}{\pi} \text{ Hz}\right) = \frac{8}{5} \text{ m/s} = 1,6 \text{ m/s}$ .5. Velocidad máxima de un punto de la cuerda $(v_{max})$ :La velocidad transversal de un punto de la cuerda se obtiene derivando la ecuación de onda respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [A \text{ sen } (wt - kx + \phi_0)] = A w \text{ cos } (wt - kx + \phi_0)

La velocidad máxima se alcanza cuando el coseno es igual a $\pm 1$ :

v_{max} = A w

v_{max} = (0,04 \text{ m}) \cdot (8 \text{ rad/s}) = 0,32 \text{ m/s}