T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Intervalos de confianza

Problema

2021 · Extraordinaria · Titular

Para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la Unión Europea (UE), se toma una muestra aleatoria de $250$ de estos residentes, obteniéndose que $115$ estaban a favor de dejar de pertenecer a la UE.

a) Calcule un intervalo de confianza al

99.5 \ %

, para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE.b) Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al

5 \ %

Proporción muestralIntervalo de confianzaError máximo+1

a) Calcule un intervalo de confianza al

99.5 \ %

, para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE.

Datos:Tamaño de la muestra: $n = 250$ Número de residentes a favor: $x = 115$ Nivel de confianza: $99.5 \ %$ Calculamos la proporción muestral ( $\hat{p}$ ) y su complemento ( $\hat{q}$ ):

\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{115}{250} = 0.46

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.46 = 0.54

Para un nivel de confianza del $99.5 \ %$ , el valor de $\alpha$ es $1 - 0.995 = 0.005$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.0025$ .El valor crítico $z_{\alpha/2}$ se busca en la tabla de la distribución normal estándar, correspondiendo a una probabilidad acumulada de $1 - 0.0025 = 0.9975$ .

z_{\alpha/2} = z_{0.0025} \approx 2.807

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es:

\left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)

Calculamos el margen de error ( $E$ ):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.807 \sqrt{\frac{0.46 \times 0.54}{250}}

E = 2.807 \sqrt{\frac{0.2484}{250}} = 2.807 \sqrt{0.0009936}

E \approx 2.807 \times 0.031521 \approx 0.08848

Ahora construimos el intervalo de confianza:

CI = (0.46 - 0.08848, 0.46 + 0.08848)

CI \approx (0.37152, 0.54848)

Intervalo de confianza al $99.5 \ %$ es aproximadamente $(0.3715, 0.5485)$ .

b) Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al

5 \ %

Datos:Proporción muestral ( $\hat{p}$ ) = $0.46$ (del apartado a))Complemento ( $\hat{q}$ ) = $0.54$ Nivel de confianza = $99.5 \ % \implies z_{\alpha/2} = 2.807$ (del apartado a))Error máximo ( $E$ ) = $5 \ % = 0.05$ La fórmula para el tamaño de la muestra ( $n$ ) en la estimación de una proporción es:

n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}

Sustituimos los valores:

n = \frac{(2.807)^2 \cdot 0.46 \cdot 0.54}{(0.05)^2}

n = \frac{7.879249 \cdot 0.2484}{0.0025}

n = \frac{1.95724}{0.0025}

n \approx 782.896

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se necesita que el error sea inferior al $5 \ %$ , redondeamos al entero superior.El tamaño mínimo necesario de la muestra es $783$ residentes.