T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Problema

2019 · Extraordinaria · Reserva

1A-a

a) Determine cuánto varía la masa, el peso y la energía potencial de un cuerpo cuando pasa de estar en la superficie marciana a elevarse sobre la superficie a una altura igual a nueve veces el radio de Marte.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ .

GravedadEnergía potencialPeso

Para resolver este problema, utilizaremos la ley de gravitación universal de Newton y la expresión para la energía potencial gravitatoria. Necesitaremos la masa ( $M_M$ ) y el radio ( $R_M$ ) de Marte, los cuales son valores de constantes físicas y se asumen conocidos para el cálculo:

M_M \approx 6,39 \cdot 10^{23} \text{ kg}

R_M \approx 3,39 \cdot 10^6 \text{ m}

Variación de la masa ($\Delta m$)

La masa de un cuerpo es una propiedad intrínseca del mismo y no depende de su ubicación ni del campo gravitatorio en el que se encuentre. Por lo tanto, al cambiar de altura, la masa del cuerpo no varía.

\Delta m = 0

Variación del peso ($\Delta P$)

El peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria que experimenta. Esta fuerza depende de la distancia al centro del planeta. La expresión general del peso es:

P = G \frac{M_M m}{r^2}

Donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M_M$ es la masa de Marte, $m$ es la masa del cuerpo y $r$ es la distancia desde el centro de Marte hasta el cuerpo.En la superficie de Marte, la distancia al centro es $r_1 = R_M$ . El peso inicial ( $P_1$ ) es:

P_1 = G \frac{M_M m}{R_M^2}

A una altura $h = 9 R_M$ sobre la superficie, la distancia al centro de Marte es $r_2 = R_M + h = R_M + 9 R_M = 10 R_M$ . El peso final ( $P_2$ ) es:

P_2 = G \frac{M_M m}{(10 R_M)^2} = G \frac{M_M m}{100 R_M^2} = \frac{1}{100} \left( G \frac{M_M m}{R_M^2} \right) = \frac{1}{100} P_1

La variación del peso ( $\Delta P$ ) es la diferencia entre el peso final y el peso inicial:

\Delta P = P_2 - P_1 = \frac{1}{100} P_1 - P_1 = -\frac{99}{100} P_1 = -0,99 P_1

El peso del cuerpo disminuye en un $99\%$ de su valor inicial.

Variación de la energía potencial ($\Delta E_p$)

La energía potencial gravitatoria de un cuerpo a una distancia $r$ del centro de Marte se define como:

E_p = -G \frac{M_M m}{r}

En la superficie de Marte, la distancia es $r_1 = R_M$ . La energía potencial inicial ( $E_{p1}$ ) es:

E_{p1} = -G \frac{M_M m}{R_M}

A una altura $h = 9 R_M$ sobre la superficie, la distancia al centro de Marte es $r_2 = 10 R_M$ . La energía potencial final ( $E_{p2}$ ) es:

E_{p2} = -G \frac{M_M m}{10 R_M}

La variación de la energía potencial ( $\Delta E_p$ ) es la diferencia entre la energía potencial final y la inicial:

\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = \left( -G \frac{M_M m}{10 R_M} \right) - \left( -G \frac{M_M m}{R_M} \right)

\Delta E_p = -G \frac{M_M m}{10 R_M} + G \frac{M_M m}{R_M} = G \frac{M_M m}{R_M} \left( 1 - \frac{1}{10} \right)

\Delta E_p = \frac{9}{10} G \frac{M_M m}{R_M}

La energía potencial del cuerpo aumenta en esta cantidad (se vuelve menos negativa), ya que el trabajo realizado para elevarlo es positivo.