T4: Funciones · Estudio de funciones — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Estudio de funciones

Problema

2020 · Extraordinaria · Titular

Considera la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6)$ . Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica.

CurvaturaPuntos de inflexiónFunción exponencial

Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión de la función $f(x)$ , necesitamos calcular la primera y segunda derivada de $f(x)$ .La función dada es $f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6)$ .

Cálculo de la primera derivada $f'(x)$

Aplicamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$ donde $u = e^x$ y $v = x^2 - 5x + 6$ .

u = e^x \Rightarrow u' = e^x

v = x^2 - 5x + 6 \Rightarrow v' = 2x - 5

f'(x) = e^x(x^2 - 5x + 6) + e^x(2x - 5)

f'(x) = e^x(x^2 - 5x + 6 + 2x - 5)

f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 1)

Cálculo de la segunda derivada $f''(x)$

Aplicamos nuevamente la regla del producto a $f'(x)$ , donde ahora $u = e^x$ y $v = x^2 - 3x + 1$ .

u = e^x \Rightarrow u' = e^x

v = x^2 - 3x + 1 \Rightarrow v' = 2x - 3

f''(x) = e^x(x^2 - 3x + 1) + e^x(2x - 3)

f''(x) = e^x(x^2 - 3x + 1 + 2x - 3)

f''(x) = e^x(x^2 - x - 2)

Determinación de los posibles puntos de inflexión

Para encontrar los posibles puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero:

f''(x) = 0 \Rightarrow e^x(x^2 - x - 2) = 0

Dado que $e^x > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ , debemos resolver la ecuación cuadrática:

x^2 - x - 2 = 0

Usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ :

x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}

x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}

x = \frac{1 \pm 3}{2}

Obtenemos dos soluciones:

x_1 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1

x_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2

Estos valores de $x$ dividen la recta real en tres intervalos para analizar la concavidad/convexidad:

(-\infty, -1), (-1, 2), (2, \infty)

Análisis de los intervalos de concavidad y convexidad

Analizamos el signo de $f''(x) = e^x(x^2 - x - 2)$ en cada intervalo. Como $e^x > 0$ , el signo de $f''(x)$ lo determina el factor $(x^2 - x - 2)$ .

a) Intervalo

(-\infty, -1)

Tomamos un punto de prueba, por ejemplo $x = -2$ :

f''(-2) = e^{-2}((-2)^2 - (-2) - 2) = e^{-2}(4 + 2 - 2) = 4e^{-2} > 0

Dado que $f''(x) > 0$ , la función es convexa en $(-\infty, -1)$ .

b) Intervalo

(-1, 2)

Tomamos un punto de prueba, por ejemplo $x = 0$ :

f''(0) = e^{0}(0^2 - 0 - 2) = 1(-2) = -2 < 0

Dado que $f''(x) < 0$ , la función es cóncava en $(-1, 2)$ .

c) Intervalo

(2, \infty)

Tomamos un punto de prueba, por ejemplo $x = 3$ :

f''(3) = e^{3}(3^2 - 3 - 2) = e^{3}(9 - 3 - 2) = 4e^{3} > 0

Dado que $f''(x) > 0$ , la función es convexa en $(2, \infty)$ .

Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión ocurren donde la segunda derivada es cero y cambia de signo.

a) Para

x = -1

La concavidad cambia de convexa a cóncava. Calculamos la coordenada $y$ :

f(-1) = e^{-1}((-1)^2 - 5(-1) + 6)

f(-1) = e^{-1}(1 + 5 + 6)

f(-1) = 12e^{-1} = \frac{12}{e}

El punto de inflexión es $\left(-1, \frac{12}{e}\right)$ .

b) Para

x = 2

La concavidad cambia de cóncava a convexa. Calculamos la coordenada $y$ :

f(2) = e^{2}((2)^2 - 5(2) + 6)

f(2) = e^{2}(4 - 10 + 6)

f(2) = e^{2}(0) = 0

El punto de inflexión es $(2, 0)$ .