T5: Probabilidad · Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Teorema de Bayes

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

Un componente electrónico se produce en dos fábricas, $A$ y $B$ . Se exporta el $40\%$ de los componentes producidos en $A$ y la cuarta parte de los producidos en $B$ , mientras que el resto es para consumo nacional. Además, el $37\%$ de todos los componentes producidos es exportado. Si se elige un componente electrónico al azar, halle la probabilidad de que:

a) Se haya producido en la fábrica

A

.b) Se haya producido en la fábrica

A

sabiendo que no es exportado.

Teorema de BayesProbabilidad totalDiagrama de árbol

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El componente se produce en la fábrica $A$ . $B$ : El componente se produce en la fábrica $B$ . $E$ : El componente es exportado. $N$ : El componente es para consumo nacional (no exportado).A partir del enunciado, tenemos las siguientes probabilidades:

P(E|A) = 0.40

P(N|A) = 1 - P(E|A) = 1 - 0.40 = 0.60

P(E|B) = \frac{1}{4} = 0.25

P(N|B) = 1 - P(E|B) = 1 - 0.25 = 0.75

P(E) = 0.37

P(N) = 1 - P(E) = 1 - 0.37 = 0.63

Las fábricas $A$ y $B$ son sucesos mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral, por lo que $P(A) + P(B) = 1$ . Utilizaremos la ley de probabilidad total para $P(E)$ :

P(E) = P(E|A)P(A) + P(E|B)P(B)

Sustituyendo los valores conocidos y $P(B) = 1 - P(A)$ :

0.37 = 0.40 \cdot P(A) + 0.25 \cdot (1 - P(A))

0.37 = 0.40 \cdot P(A) + 0.25 - 0.25 \cdot P(A)

0.37 - 0.25 = 0.15 \cdot P(A)

0.12 = 0.15 \cdot P(A)

P(A) = \frac{0.12}{0.15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8

Por lo tanto, $P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.8 = 0.2$ .

a) Se haya producido en la fábrica

A

Esta probabilidad es directamente $P(A)$ que ya hemos calculado.

P(A) = 0.8

b) Se haya producido en la fábrica

A

sabiendo que no es exportado.

Se nos pide calcular la probabilidad condicional $P(A|N)$ . Usamos la fórmula de probabilidad condicional:

P(A|N) = \frac{P(A \cap N)}{P(N)}

Sabemos que $P(N) = 0.63$ . Para hallar $P(A \cap N)$ , usamos la definición de probabilidad condicional $P(N|A) = P(A \cap N) / P(A)$ :

P(A \cap N) = P(N|A) \cdot P(A)

Sustituyendo los valores conocidos:

P(A \cap N) = 0.60 \cdot 0.8 = 0.48

Ahora podemos calcular $P(A|N)$ :

P(A|N) = \frac{0.48}{0.63} = \frac{48}{63}

Simplificando la fracción dividiendo el numerador y el denominador por 3:

P(A|N) = \frac{16}{21}