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T4: Funciones
Aplicaciones de la derivada en economía
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
4
Examen
EJERCICIO 4

El beneficio, en miles de euros, que se obtiene en una pequeña finca familiar por la venta de aceitunas, en miles de kilogramos, viene dado por la siguiente función:

B(x)=−0.02x2+1.3x−15,x≥0B(x) = -0.02x^2 + 1.3x - 15, \quad x \ge 0
a) Represente la función beneficio y calcule los puntos de corte con el eje OXOX.b) ¿Para qué valores de xx la finca no tiene pérdidas?c) ¿Para qué número de kilogramos el beneficio será máximo? ¿Cuánto vale dicho beneficio?d) ¿Cuántos kilogramos debe vender para obtener un beneficio de 5000 euros5000\text{ euros}?
Función beneficioOptimizaciónPuntos de corte
a) La función de beneficio es B(x)=−0.02x2+1.3x−15B(x) = -0.02x^2 + 1.3x - 15. Se trata de una parábola, ya que es una función cuadrática. Dado que el coeficiente principal es negativo (−0.02<0-0.02 < 0), la parábola se abre hacia abajo.

Para representar la función, podemos encontrar el vértice y los puntos de corte con los ejes.Coordenada xx del vértice:

xv=−b2a=−1.32(−0.02)=−1.3−0.04=32.5x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-1.3}{2(-0.02)} = \frac{-1.3}{-0.04} = 32.5

Coordenada yy del vértice (beneficio máximo):

B(32.5)=−0.02(32.5)2+1.3(32.5)−15=−0.02(1056.25)+42.25−15=−21.125+42.25−15=6.125B(32.5) = -0.02(32.5)^2 + 1.3(32.5) - 15 = -0.02(1056.25) + 42.25 - 15 = -21.125 + 42.25 - 15 = 6.125

El vértice de la parábola es (32.5,6.125)(32.5, 6.125).Puntos de corte con el eje OXOX (cuando B(x)=0B(x) = 0):

−0.02x2+1.3x−15=0-0.02x^2 + 1.3x - 15 = 0

Usamos la fórmula general para las ecuaciones cuadráticas x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}:

x=−1.3±1.32−4(−0.02)(−15)2(−0.02)x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{1.3^2 - 4(-0.02)(-15)}}{2(-0.02)}
x=−1.3±1.69−1.2−0.04x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{1.69 - 1.2}}{-0.04}
x=−1.3±0.49−0.04x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{0.49}}{-0.04}
x=−1.3±0.7−0.04x = \frac{-1.3 \pm 0.7}{-0.04}

Obtenemos dos soluciones:

x1=−1.3−0.7−0.04=−2−0.04=50x_1 = \frac{-1.3 - 0.7}{-0.04} = \frac{-2}{-0.04} = 50
x2=−1.3+0.7−0.04=−0.6−0.04=15x_2 = \frac{-1.3 + 0.7}{-0.04} = \frac{-0.6}{-0.04} = 15

Los puntos de corte con el eje OXOX son (15,0)(15, 0) y (50,0)(50, 0).

b) La finca no tiene pérdidas cuando el beneficio B(x)B(x) es mayor o igual que cero, es decir, B(x)≥0B(x) \ge 0. Dado que la parábola se abre hacia abajo y corta el eje OXOX en x=15x=15 y x=50x=50, el beneficio será no negativo entre estos dos valores.Por lo tanto, la finca no tiene pérdidas para x∈[15,50]x \in [15, 50] miles de kilogramos.c) El beneficio será máximo en el vértice de la parábola, ya que se abre hacia abajo.La coordenada xx del vértice nos da el número de kilogramos para el beneficio máximo:
x=32.5 miles de kilogramosx = 32.5 \text{ miles de kilogramos}

El valor de dicho beneficio máximo se obtiene sustituyendo x=32.5x=32.5 en la función B(x)B(x):

B(32.5)=6.125 miles de eurosB(32.5) = 6.125 \text{ miles de euros}

Esto significa 6125 euros6125 \text{ euros}.Por lo tanto, el beneficio será máximo cuando se vendan 32500 kg32500 \text{ kg} de aceitunas, siendo el beneficio de 6125 euros6125 \text{ euros}.

d) Se quiere obtener un beneficio de 5000 euros5000 \text{ euros}. Dado que el beneficio se mide en miles de euros, debemos establecer B(x)=5B(x) = 5.
−0.02x2+1.3x−15=5-0.02x^2 + 1.3x - 15 = 5
−0.02x2+1.3x−20=0-0.02x^2 + 1.3x - 20 = 0

Usamos la fórmula general para las ecuaciones cuadráticas:

x=−1.3±1.32−4(−0.02)(−20)2(−0.02)x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{1.3^2 - 4(-0.02)(-20)}}{2(-0.02)}
x=−1.3±1.69−1.6−0.04x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{1.69 - 1.6}}{-0.04}
x=−1.3±0.09−0.04x = \frac{-1.3 \pm \sqrt{0.09}}{-0.04}
x=−1.3±0.3−0.04x = \frac{-1.3 \pm 0.3}{-0.04}

Obtenemos dos soluciones:

x1=−1.3−0.3−0.04=−1.6−0.04=40x_1 = \frac{-1.3 - 0.3}{-0.04} = \frac{-1.6}{-0.04} = 40
x2=−1.3+0.3−0.04=−1−0.04=25x_2 = \frac{-1.3 + 0.3}{-0.04} = \frac{-1}{-0.04} = 25

Por lo tanto, debe vender 25 miles de kilogramos25 \text{ miles de kilogramos} (25000 kg25000 \text{ kg}) o 40 miles de kilogramos40 \text{ miles de kilogramos} (40000 kg40000 \text{ kg}) para obtener un beneficio de 5000 euros5000 \text{ euros}.