T6: Teoría de muestras · Inferencia estadística y estimación — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2020

Inferencia estadística y estimación

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

BLOQUE D

La vida útil, en años, de las lavadoras de un determinado modelo, se distribuye según una ley Normal de varianza 7.84. En una muestra de 12 lavadoras, la vida útil en años ha sido: 9.5 9 10.2 8.6 11.4 10.8 12.6 11 11.8 14.5 10.4 9.8

a) Con estos datos, determine un intervalo de confianza al 93.5 % para estimar la vida útil media de estas lavadoras.b) Calcule el error máximo que se puede cometer al estimar la vida útil media de este modelo de lavadoras, si se toma una muestra de 50 lavadoras y asumimos un nivel de confianza del 99 %.

Intervalo de confianzaDistribución NormalVarianza poblacional

Resolución de Problema de Inferencia Estadística

Los datos del problema definen una variable aleatoria que sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$ , donde la varianza es $\sigma^2 = 7.84$ . Por lo tanto, la desviación típica poblacional es:

\sigma = \sqrt{7.84} = 2.8

a) Con estos datos, determine un intervalo de confianza al 93.5 % para estimar la vida útil media de estas lavadoras.

Primero, calculamos la media muestral $\bar{x}$ a partir de los 12 valores proporcionados ( $n=12$ ):

\bar{x} = \frac{9.5 + 9 + 10.2 + 8.6 + 11.4 + 10.8 + 12.6 + 11 + 11.8 + 14.5 + 10.4 + 9.8}{12} = \frac{129.6}{12} = 10.8 \text{ años}

Para un nivel de confianza del $93.5\%$ , tenemos que $1 - \alpha = 0.935$ , lo que implica que $\alpha = 0.065$ y $\alpha/2 = 0.0325$ . Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ tal que $P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 1 - 0.0325 = 0.9675$ :

z_{\alpha/2} = 1.845

El intervalo de confianza para la media se calcula mediante la fórmula $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$ , donde el error $E$ es:

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.845 \cdot \frac{2.8}{\sqrt{12}} \approx 1.845 \cdot 0.8083 \approx 1.4913

Sustituyendo los valores, el intervalo es:

I.C. = (10.8 - 1.4913; 10.8 + 1.4913) = (9.3087; 12.2913)

b) Calcule el error máximo que se puede cometer al estimar la vida útil media de este modelo de lavadoras, si se toma una muestra de 50 lavadoras y asumimos un nivel de confianza del 99 %.

Para este apartado, el nuevo tamaño muestral es $n = 50$ y el nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.99$ . Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para $\alpha/2 = 0.005$ :

P(Z \leq z_{\alpha/2}) = 0.995 \implies z_{\alpha/2} = 2.575

El error máximo admitido viene dado por la expresión:

E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Sustituimos los datos correspondientes:

E = 2.575 \cdot \frac{2.8}{\sqrt{50}} = 2.575 \cdot \frac{2.8}{7.0711} \approx 1.0197 \text{ años}