T5: Integrales · Integrales definidas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Integrales definidas

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

Calcula:

\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{1 + x}} dx

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{1 + x}$ .)

Cambio de variableIntegral definida

Se nos pide calcular la integral definida utilizando un cambio de variable.

\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{1 + x}} dx

El cambio de variable sugerido es $t = \sqrt{1 + x}$ .A partir de este cambio, necesitamos expresar $x$ y $dx$ en términos de $t$ y $dt$ , respectivamente, y también ajustar los límites de integración.1. Expresar $x$ en función de $t$ :

t = \sqrt{1 + x} \implies t^2 = 1 + x \implies x = t^2 - 1

2. Diferenciar para encontrar $dx$ en función de $dt$ :

dx = 2t \, dt

3. Cambiar los límites de integración:Cuando $x = 0$ , $t = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1$ .Cuando $x = 3$ , $t = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ .Ahora, sustituimos estas expresiones en la integral original:

\int_1^2 \frac{t^2 - 1}{t} (2t \, dt)

Simplificamos la expresión del integrando:

\frac{t^2 - 1}{t} (2t) = 2(t^2 - 1) = 2t^2 - 2

La integral se convierte en:

\int_1^2 (2t^2 - 2) dt

Calculamos la integral indefinida:

\int (2t^2 - 2) dt = \frac{2t^3}{3} - 2t + C

Ahora evaluamos la integral definida utilizando los nuevos límites:

\left[ \frac{2t^3}{3} - 2t \right]_1^2 = \left( \frac{2(2)^3}{3} - 2(2) \right) - \left( \frac{2(1)^3}{3} - 2(1) \right)

= \left( \frac{2 \cdot 8}{3} - 4 \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right)

= \left( \frac{16}{3} - \frac{12}{3} \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{6}{3} \right)

= \left( \frac{4}{3} \right) - \left( -\frac{4}{3} \right)

= \frac{4}{3} + \frac{4}{3}

= \frac{8}{3}