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T4: Funciones
Aplicaciones de las funciones
Problema
2021 · Extraordinaria · Titular
4
Examen

El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se aproxima por la siguiente función:

f(t)={−t2+2t−0.3si 0.2≤t≤1.80.1t−0.12si 1.8<t≤5−0.5t2+8.3t−28.62si 5<t≤10f(t) = \begin{cases} -t^2 + 2t - 0.3 & \text{si } 0.2 \le t \le 1.8 \\ 0.1 t - 0.12 & \text{si } 1.8 < t \le 5 \\ -0.5 t^2 + 8.3 t - 28.62 & \text{si } 5 < t \le 10 \end{cases}

donde tt es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2020.

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función ff en su dominio.b) ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número?
ContinuidadDerivabilidadOptimización+1
a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función ff en su dominio.

La función f(t)f(t) está definida a trozos por funciones polinómicas, que son continuas y derivables en todo su dominio. Por tanto, solo es necesario estudiar la continuidad y derivabilidad en los puntos donde cambia la definición de la función: t=1.8t=1.8 y t=5t=5.

Continuidad

Para que la función sea continua en un punto, el valor de la función en ese punto y los límites laterales deben coincidir.Estudio en t=1.8t=1.8:

f(1.8)=−(1.8)2+2(1.8)−0.3=−3.24+3.6−0.3=0.06f(1.8) = -(1.8)^2 + 2(1.8) - 0.3 = -3.24 + 3.6 - 0.3 = 0.06
lim⁡t→1.8−f(t)=lim⁡t→1.8−(−t2+2t−0.3)=0.06\lim_{t \to 1.8^-} f(t) = \lim_{t \to 1.8^-} (-t^2 + 2t - 0.3) = 0.06
lim⁡t→1.8+f(t)=lim⁡t→1.8+(0.1t−0.12)=0.1(1.8)−0.12=0.18−0.12=0.06\lim_{t \to 1.8^+} f(t) = \lim_{t \to 1.8^+} (0.1t - 0.12) = 0.1(1.8) - 0.12 = 0.18 - 0.12 = 0.06

Dado que lim⁡t→1.8−f(t)=lim⁡t→1.8+f(t)=f(1.8)=0.06\lim_{t \to 1.8^-} f(t) = \lim_{t \to 1.8^+} f(t) = f(1.8) = 0.06, la función es continua en t=1.8t=1.8.Estudio en t=5t=5:

f(5)=0.1(5)−0.12=0.5−0.12=0.38f(5) = 0.1(5) - 0.12 = 0.5 - 0.12 = 0.38
lim⁡t→5−f(t)=lim⁡t→5−(0.1t−0.12)=0.38\lim_{t \to 5^-} f(t) = \lim_{t \to 5^-} (0.1t - 0.12) = 0.38
lim⁡t→5+f(t)=lim⁡t→5+(−0.5t2+8.3t−28.62)=−0.5(5)2+8.3(5)−28.62=−12.5+41.5−28.62=0.38\lim_{t \to 5^+} f(t) = \lim_{t \to 5^+} (-0.5t^2 + 8.3t - 28.62) = -0.5(5)^2 + 8.3(5) - 28.62 = -12.5 + 41.5 - 28.62 = 0.38

Dado que lim⁡t→5−f(t)=lim⁡t→5+f(t)=f(5)=0.38\lim_{t \to 5^-} f(t) = \lim_{t \to 5^+} f(t) = f(5) = 0.38, la función es continua en t=5t=5.Por lo tanto, la función f(t)f(t) es continua en todo su dominio [0.2,10][0.2, 10].

Derivabilidad

La función derivada de f(t)f(t) es:

f′(t)={−2t+2si 0.2<t<1.80.1si 1.8<t<5−t+8.3si 5<t<10f'(t) = \begin{cases} -2t + 2 & \text{si } 0.2 < t < 1.8 \\ 0.1 & \text{si } 1.8 < t < 5 \\ -t + 8.3 & \text{si } 5 < t < 10 \end{cases}

Estudio en t=1.8t=1.8:

f′(1.8−)=−2(1.8)+2=−3.6+2=−1.6f' (1.8^-) = -2(1.8) + 2 = -3.6 + 2 = -1.6
f′(1.8+)=0.1f' (1.8^+) = 0.1

Como f′(1.8−)≠f′(1.8+)f'(1.8^-) \neq f'(1.8^+), la función no es derivable en t=1.8t=1.8.Estudio en t=5t=5:

f′(5−)=0.1f' (5^-) = 0.1
f′(5+)=−5+8.3=3.3f' (5^+) = -5 + 8.3 = 3.3

Como f′(5−)≠f′(5+)f'(5^-) \neq f'(5^+), la función no es derivable en t=5t=5.En resumen, la función f(t)f(t) es continua en [0.2,10][0.2, 10] y derivable en [0.2,1.8)∪(1.8,5)∪(5,10)[0.2, 1.8) \cup (1.8, 5) \cup (5, 10).

b) ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número?

Para encontrar el máximo absoluto, evaluamos la función en los extremos del intervalo [0.2,10][0.2, 10], en los puntos donde la derivada es cero y en los puntos donde la función no es derivable.1. Extremos del intervalo:

f(0.2)=−(0.2)2+2(0.2)−0.3=−0.04+0.4−0.3=0.06f(0.2) = -(0.2)^2 + 2(0.2) - 0.3 = -0.04 + 0.4 - 0.3 = 0.06
f(10)=−0.5(10)2+8.3(10)−28.62=−50+83−28.62=4.38f(10) = -0.5(10)^2 + 8.3(10) - 28.62 = -50 + 83 - 28.62 = 4.38

2. Puntos donde la derivada es cero:Primer tramo (0.2<t<1.80.2 < t < 1.8):

−2t+2=0  ⟹  2t=2  ⟹  t=1-2t + 2 = 0 \implies 2t = 2 \implies t = 1

Este punto está en el intervalo. Evaluamos la función:

f(1)=−(1)2+2(1)−0.3=−1+2−0.3=0.7f(1) = -(1)^2 + 2(1) - 0.3 = -1 + 2 - 0.3 = 0.7

Segundo tramo (1.8<t<51.8 < t < 5):

f′(t)=0.1≠0f'(t) = 0.1 \neq 0

No hay puntos críticos en este tramo.Tercer tramo (5<t<105 < t < 10):

−t+8.3=0  ⟹  t=8.3-t + 8.3 = 0 \implies t = 8.3

Este punto está en el intervalo. Evaluamos la función:

f(8.3)=−0.5(8.3)2+8.3(8.3)−28.62=−0.5(68.89)+68.89−28.62=−34.445+68.89−28.62=5.825f(8.3) = -0.5(8.3)^2 + 8.3(8.3) - 28.62 = -0.5(68.89) + 68.89 - 28.62 = -34.445 + 68.89 - 28.62 = 5.825

3. Puntos donde la función no es derivable:

f(1.8)=0.06f(1.8) = 0.06
f(5)=0.38f(5) = 0.38

Comparando todos los valores obtenidos:

{f(0.2)=0.06f(1)=0.7f(1.8)=0.06f(5)=0.38f(8.3)=5.825f(10)=4.38\begin{cases} f(0.2) = 0.06 \\ f(1) = 0.7 \\ f(1.8) = 0.06 \\ f(5) = 0.38 \\ f(8.3) = 5.825 \\ f(10) = 4.38 \end{cases}

El valor máximo de la función es 5.8255.825. Esto ocurre en el instante t=8.3t = 8.3 meses.Dado que el número de diagnosticados se mide en miles de personas, el número máximo es 5.825×1000=58255.825 \times 1000 = 5825 personas.El número máximo de diagnosticados es 58255825 personas, y ocurre en el instante t=8.3t = 8.3 meses.