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2021 · Ordinaria · Suplente
B.1-b
Examen
b) Considere dos conductores rectilíneos, muy largos, paralelos y separados 0,06 m0,06 \text{ m}, por los que circulan corrientes de 9 A9 \text{ A} y 15 A15 \text{ A} en el mismo sentido. i) Dibuje en un esquema el vector campo magnético resultante en el punto medio de la línea que une ambos conductores y razone su dirección y sentido. ii) En la región entre los conductores, ¿a qué distancia del conductor por el que circulan 9 A9 \text{ A} se anula el campo magnético? Justifique su respuesta.

Dato: μ0=4π107 TmA1\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}

Campo magnéticoSuperposición de campos
b) i) Dibuje en un esquema el vector campo magnético resultante en el punto medio de la línea que une ambos conductores y razone su dirección y sentido.

Consideremos los dos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos, con corrientes I1=9 AI_1 = 9 \text{ A} y I2=15 AI_2 = 15 \text{ A} circulando en el mismo sentido. La separación entre ellos es d=0,06 md = 0,06 \text{ m}. El punto medio se encuentra a una distancia r=d/2=0,03 mr = d/2 = 0,03 \text{ m} de cada conductor.Para determinar la dirección y el sentido del campo magnético producido por cada conductor, aplicamos la regla de la mano derecha. Si las corrientes circulan hacia arriba (saliendo del plano del esquema):- El campo magnético B1B_1 producido por el conductor con corriente I1I_1 (considerado a la izquierda) en el punto medio (a su derecha) tiene dirección perpendicular al plano que contiene los conductores y sentido hacia adentro del plano.- El campo magnético B2B_2 producido por el conductor con corriente I2I_2 (considerado a la derecha) en el punto medio (a su izquierda) tiene dirección perpendicular al plano que contiene los conductores y sentido hacia afuera del plano.La fórmula para el módulo del campo magnético producido por un conductor rectilíneo muy largo es:

B=μ0I2πrB = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

Calculamos los módulos de los campos B1B_1 y B2B_2 en el punto medio:

B1=4π107 TmA19 A2π0,03 m=210790,03 T=181073102 T=6105 TB_1 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 9 \text{ A}}{2\pi \cdot 0,03 \text{ m}} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 9}{0,03} \text{ T} = \frac{18 \cdot 10^{-7}}{3 \cdot 10^{-2}} \text{ T} = 6 \cdot 10^{-5} \text{ T}
B2=4π107 TmA115 A2π0,03 m=2107150,03 T=301073102 T=10105 TB_2 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 15 \text{ A}}{2\pi \cdot 0,03 \text{ m}} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 15}{0,03} \text{ T} = \frac{30 \cdot 10^{-7}}{3 \cdot 10^{-2}} \text{ T} = 10 \cdot 10^{-5} \text{ T}

Dado que B1B_1 y B2B_2 tienen direcciones opuestas en el punto medio, el campo magnético resultante BRB_R es la resta de sus módulos. Como B2>B1B_2 > B_1, el sentido del campo resultante será el de B2B_2, es decir, hacia afuera del plano del esquema.

BR=B2B1=(106)105 T=4105 TB_R = B_2 - B_1 = (10 - 6) \cdot 10^{-5} \text{ T} = 4 \cdot 10^{-5} \text{ T}

La dirección del vector campo magnético resultante es perpendicular al plano de los conductores y su sentido es hacia afuera del plano del esquema.

b) ii) En la región entre los conductores, ¿a qué distancia del conductor por el que circulan 9 A9 \text{ A} se anula el campo magnético? Justifique su respuesta.

Para que el campo magnético total se anule en un punto entre los conductores, los campos magnéticos creados por cada conductor deben tener la misma magnitud y direcciones opuestas. Como se estableció en el apartado anterior, si las corrientes circulan en el mismo sentido, entre los conductores los campos B1B_1 y B2B_2 tienen direcciones opuestas (uno hacia adentro y otro hacia afuera del plano), por lo que pueden anularse.Sea xx la distancia desde el conductor con corriente I1=9 AI_1 = 9 \text{ A} donde el campo magnético se anula. Entonces, la distancia desde el conductor con corriente I2=15 AI_2 = 15 \text{ A} será dxd-x, donde d=0,06 md = 0,06 \text{ m}. Establecemos la igualdad de magnitudes:

B1=B2    μ0I12πx=μ0I22π(dx)B_1 = B_2 \implies \frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d-x)}

Simplificando μ02π\frac{\mu_0}{2\pi} a ambos lados:

I1x=I2dx\frac{I_1}{x} = \frac{I_2}{d-x}

Sustituimos los valores y resolvemos para xx:

9 Ax=15 A0,06 mx\frac{9 \text{ A}}{x} = \frac{15 \text{ A}}{0,06 \text{ m} - x}
9(0,06x)=15x9(0,06 - x) = 15x
0,549x=15x0,54 - 9x = 15x
0,54=24x0,54 = 24x
x=0,5424 m=0,0225 mx = \frac{0,54}{24} \text{ m} = 0,0225 \text{ m}

El campo magnético se anula a 0,0225 m0,0225 \text{ m} del conductor por el que circulan 9 A9 \text{ A}.