T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2019 · Extraordinaria · Suplente

1A-b

b) Un objeto de

3 \text{ kg}

, inicialmente en reposo, asciende por un plano inclinado de

30^\circ

respecto a la horizontal por la acción de una fuerza paralela al plano de

200 \text{ N}

. El coeficiente de rozamiento entre el objeto y el plano es de

0,2

. Calcule: i) El trabajo que realiza la fuerza cuando recorre

5 \text{ m}

a lo largo del plano inclinado. ii) La velocidad que alcanza al final del trayecto usando consideraciones energéticas.

Dato: $g = 9,8 \text{ m/s}^2$

Plano inclinadoRozamientoEnergía mecánica

b) i) El trabajo que realiza la fuerza cuando recorre

5 \text{ m}

a lo largo del plano inclinado.

La fuerza aplicada $\vec{F}$ es paralela al plano inclinado y en la dirección del desplazamiento. Por lo tanto, el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es $0^\circ$ . El trabajo realizado por una fuerza constante se calcula como:

W_F = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)

Dados:- Fuerza aplicada $F = 200 \text{ N}$ - Distancia recorrida $d = 5 \text{ m}$ - Ángulo entre la fuerza y el desplazamiento $\alpha = 0^\circ$

W_F = (200 \text{ N}) \cdot (5 \text{ m}) \cdot \cos(0^\circ) = 1000 \text{ J}

b) ii) La velocidad que alcanza al final del trayecto usando consideraciones energéticas.

Aplicaremos el Teorema de las Fuerzas Vivas (o Teorema Trabajo-Energía Cinética), que establece que el trabajo neto realizado sobre un objeto es igual al cambio en su energía cinética:

W_{neto} = \Delta E_k = E_{kf} - E_{ki}

Donde $E_{ki} = \frac{1}{2}mv_i^2$ y $E_{kf} = \frac{1}{2}mv_f^2$ . Dado que el objeto parte del reposo, $v_i = 0 \text{ m/s}$ , por lo tanto $E_{ki} = 0 \text{ J}$ .El trabajo neto es la suma de los trabajos realizados por todas las fuerzas que actúan sobre el objeto: la fuerza aplicada ( $W_F$ ), el peso ( $W_P$ ), la fuerza normal ( $W_N$ ) y la fuerza de rozamiento ( $W_{fr}$ ). Ya calculamos $W_F$ .Datos:- Masa $m = 3 \text{ kg}$ - Ángulo de inclinación $\theta = 30^\circ$ - Coeficiente de rozamiento $\mu = 0.2$ - Aceleración de la gravedad $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ Cálculo del trabajo realizado por el peso ( $W_P$ ):El cambio de altura vertical $\Delta h$ al recorrer $d = 5 \text{ m}$ por el plano inclinado es:

\Delta h = d \cdot \sin(\theta) = (5 \text{ m}) \cdot \sin(30^\circ) = (5 \text{ m}) \cdot 0.5 = 2.5 \text{ m}

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es negativo porque la fuerza se opone al desplazamiento vertical ascendente:

W_P = -m g \Delta h

W_P = -(3 \text{ kg}) \cdot (9.8 \text{ m/s}^2) \cdot (2.5 \text{ m}) = -73.5 \text{ J}

Cálculo del trabajo realizado por la fuerza normal ( $W_N$ ):La fuerza normal es perpendicular al desplazamiento, por lo que su trabajo es nulo.

W_N = 0 \text{ J}

Cálculo del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ( $W_{fr}$ ):Primero, calculamos la fuerza normal $N$ . En la dirección perpendicular al plano, las fuerzas están en equilibrio:

N - P_y = 0 \Rightarrow N = P_y = mg \cos(\theta)

N = (3 \text{ kg}) \cdot (9.8 \text{ m/s}^2) \cdot \cos(30^\circ) = 29.4 \text{ N} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 25.46 \text{ N}

La fuerza de rozamiento cinético $f_r$ es:

f_r = \mu \cdot N

f_r = 0.2 \cdot 25.46 \text{ N} \approx 5.092 \text{ N}

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es negativo porque se opone al movimiento:

W_{fr} = -f_r \cdot d

W_{fr} = -(5.092 \text{ N}) \cdot (5 \text{ m}) = -25.46 \text{ J}

Cálculo del trabajo neto ( $W_{neto}$ ):

W_{neto} = W_F + W_P + W_N + W_{fr}

W_{neto} = 1000 \text{ J} - 73.5 \text{ J} + 0 \text{ J} - 25.46 \text{ J} = 901.04 \text{ J}

Aplicando el Teorema de las Fuerzas Vivas para encontrar la velocidad final $v_f$ :

W_{neto} = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2

W_{neto} = \frac{1}{2}mv_f^2

v_f = \sqrt{\frac{2 \cdot W_{neto}}{m}}

v_f = \sqrt{\frac{2 \cdot 901.04 \text{ J}}{3 \text{ kg}}} = \sqrt{600.69 \text{ m}^2/\text{s}^2} \approx 24.51 \text{ m/s}